Давайте разберемся с этой задачей шаг за шагом.

У нас есть окружность с центром в точке O и радиусом 5 см. Из точки A проведена касательная AB к этой окружности. Мы знаем, что разность между длиной AO и длиной AB равна 1 см. Это можно записать в виде:

• AО - АВ = 1 см

Кроме того, существует важное свойство касательной: она перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Это означает, что треугольник AOB является прямоугольным, где:

• AO - это гипотенуза,
• AB - это катет,
• OB - это радиус окружности, равный 5 см.

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для треугольника AOB:

AO^2 = AB^2 + OB^2

Подставим известные значения:

• AO^2 = AB^2 + 5^2
• AO^2 = AB^2 + 25

Теперь у нас есть две уравнения:

• 1) AO - AB = 1
• 2) AO^2 = AB^2 + 25

Из первого уравнения выразим AO через AB:

• AO = AB + 1

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

• (AB + 1)^2 = AB^2 + 25

Раскроем скобки:

• AB^2 + 2*AB + 1 = AB^2 + 25

Теперь упростим уравнение, вычтя AB^2 из обеих сторон:

• 2*AB + 1 = 25

Теперь решим это уравнение:

• 2*AB = 25 - 1
• 2*AB = 24
• AB = 12 см

Теперь, зная значение AB, можем найти AO:

• AO = AB + 1 = 12 + 1 = 13 см

Таким образом, мы нашли:

• AO = 13 см
• AB = 12 см

Ответ: AO = 13 см, AB = 12 см.