Чтобы доказать, что прямая, соединяющая центры двух различных окружностей, пересекающихся в точках A и B, делит отрезок AB пополам и является к нему перпендикулярной, мы можем воспользоваться некоторыми свойствами окружностей и треугольников. Давайте рассмотрим шаги решения:

1. Обозначим окружности: Пусть у нас есть две окружности с центрами O1 и O2, которые пересекаются в точках A и B.
2. Проведем отрезок AB: Соединим точки A и B отрезком AB.
3. Проведем прямую O1O2: Теперь проведем прямую, соединяющую центры окружностей O1 и O2.
4. Используем свойства окружностей: Поскольку точки A и B лежат на обеих окружностях, радиусы O1A и O1B равны радиусу первой окружности, а радиусы O2A и O2B равны радиусу второй окружности.
5. Рассмотрим треугольники: Рассмотрим треугольники O1AB и O2AB. Эти треугольники имеют общую сторону AB и равные радиусы:
   • O1A = O1B (радиус первой окружности)
   • O2A = O2B (радиус второй окружности)
6. Применим теорему о равенстве треугольников: Это означает, что треугольники O1AB и O2AB равны по стороне и двум прилежащим углам (по двум радиусам и общей стороне AB).
7. Следствие из равенства треугольников: Из равенства треугольников следует, что отрезки O1M и O2M равны, где M - точка пересечения прямой O1O2 и отрезка AB. Это означает, что M является серединой отрезка AB.
8. Перпендикулярность: Также, поскольку O1M и O2M являются радиусами, проведенными к точкам A и B, и они равны, прямая O1O2 будет перпендикулярна отрезку AB в точке M.

Таким образом, мы доказали, что прямая, соединяющая центры двух пересекающихся окружностей, делит отрезок AB пополам и является к нему перпендикулярной.