Чтобы доказать, что прямая, соединяющая центры двух различных окружностей, пересекающихся в точках P и Q, делит отрезок PQ пополам и перпендикулярна ему, следуем следующим шагам:

1. Обозначим окружности: Пусть у нас есть две окружности с центрами O1 и O2, которые пересекаются в точках P и Q.
2. Проведем отрезок PQ: Отрезок PQ соединяет точки пересечения окружностей.
3. Проведем прямую O1O2: Эта прямая соединяет центры окружностей O1 и O2.
4. Покажем, что O1O2 перпендикулярна PQ:
   • Рассмотрим треугольники O1PQ и O2PQ. Эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, так как радиусы окружностей равны.
   • Так как O1 и O2 находятся по одну сторону от отрезка PQ, то прямая O1O2 пересекает PQ под прямым углом.
5. Докажем, что O1O2 делит PQ пополам:
   • Поскольку O1O2 перпендикулярна PQ, то проекции точек P и Q на прямую O1O2 будут находиться на одном расстоянии от точки пересечения прямой O1O2 и отрезка PQ.
   • Это означает, что отрезок PQ делится на два равных отрезка, и точка пересечения O1O2 с PQ является серединой отрезка PQ.

Таким образом, мы доказали, что прямая, соединяющая центры окружностей O1 и O2, перпендикулярна отрезку PQ и делит его пополам, если центры окружностей находятся по одну сторону от прямой PQ.