Чтобы определить длины диагоналей равнобедренной трапеции, нам нужно воспользоваться некоторыми свойствами трапеции и применить теорему Пифагора. Давайте рассмотрим шаги решения задачи.

1. Обозначим элементы трапеции:
   • Обозначим основания трапеции как AB и CD, где AB = 6 см, а CD = 4 см.
   • Боковые стороны обозначим как AD и BC, где AD = BC = 5 см.
2. Проведем высоту:
   • Проведем высоту из точек C и D на основание AB и обозначим точки пересечения как H и G соответственно.
   • Теперь у нас есть два прямоугольных треугольника: AHD и BGC.
3. Определим длину отрезка HG:
   • Поскольку основания AB и CD параллельны, длина отрезка HG равна разности оснований: HG = AB - CD = 6 см - 4 см = 2 см.
4. Теперь найдем длину отрезков AH и BG:
   • Поскольку трапеция равнобедренная, отрезки AH и BG равны. Обозначим их как x.
   • Тогда мы можем записать равенство: AH + HG + BG = AB, то есть x + 2 см + x = 6 см.
   • Решим это уравнение: 2x + 2 = 6, откуда 2x = 4, x = 2 см.
5. Теперь найдем высоту трапеции:
   • В треугольнике AHD по теореме Пифагора можно выразить высоту h:
   • AD^2 = AH^2 + HD^2, то есть 5^2 = 2^2 + h^2.
   • 25 = 4 + h^2, откуда h^2 = 21, и h = √21 см.
6. Теперь вычислим длины диагоналей:
   • В треугольнике ABD также применяем теорему Пифагора:
   • Диагональ AC = √(AB^2 + h^2) = √(6^2 + (√21)^2) = √(36 + 21) = √57 см.
   • Диагональ BD = √(CD^2 + h^2) = √(4^2 + (√21)^2) = √(16 + 21) = √37 см.

Таким образом, длины диагоналей равнобедренной трапеции составляют: AC = √57 см и BD = √37 см.