Как можно определить катеты прямоугольного треугольника, если известно, что его площадь составляет 180 см², а один катет превышает другой на 31 см?

Геометрия 8 класс Прямоугольные треугольники катеты прямоугольного треугольника площадь треугольника задача по геометрии решение уравнения прямоугольный треугольник свойства треугольника геометрические задачи Новый

Чтобы определить катеты прямоугольного треугольника, когда известна площадь и разница между катетами, можно воспользоваться следующими шагами:

1. Запишем формулу для площади прямоугольного треугольника. Площадь прямоугольного треугольника рассчитывается по формуле:
• Площадь = (катет1 * катет2) / 2
2. Обозначим катеты. Пусть один катет равен x см, а другой катет, который на 31 см больше, равен x + 31 см.
3. Подставим значения в формулу площади. Теперь можем записать уравнение для площади:
• (x * (x + 31)) / 2 = 180
4. Упростим уравнение. Умножим обе стороны уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:
• x * (x + 31) = 360
5. Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду. Это даст нам:
• x^2 + 31x - 360 = 0
6. Решим квадратное уравнение. Теперь мы можем использовать дискриминант:
• D = b^2 - 4ac, где a = 1, b = 31, c = -360.
• D = 31^2 - 4 * 1 * (-360) = 961 + 1440 = 2401.
• Корень из D: sqrt(2401) = 49.
7. Найдём корни уравнения. Используя формулу корней квадратного уравнения:
• x1 = (-b + sqrt(D)) / (2a) = (-31 + 49) / 2 = 9 см.
• x2 = (-b - sqrt(D)) / (2a) = (-31 - 49) / 2 = -40 см (не подходит, так как длина не может быть отрицательной).
8. Определим катеты. Таким образом, первый катет равен 9 см, а второй катет:
• x + 31 = 9 + 31 = 40 см.

Ответ: Катеты прямоугольного треугольника равны 9 см и 40 см.