Как можно вычислить полную площадь поверхности конуса, который образуется при вращении прямоугольного треугольника с одним углом 45 градусов вокруг цилиндра, если объем этого конуса равен 725 дм³?

Геометрия 8 класс Объем и площадь поверхности конуса вычисление площади поверхности конуса конус из треугольника объем конуса 725 дм³ геометрия 8 класс вращение треугольника площадь конуса прямоугольный треугольник угол 45 градусов цилиндр и конус задачи по геометрии Новый

Чтобы найти полную площадь поверхности конуса, образованного вращением прямоугольного треугольника с углом 45 градусов, сначала нам нужно вспомнить некоторые свойства конуса и его формулы.

Шаг 1: Определение формул

• Объем конуса: V = (1/3) * π * r² * h
• Площадь основания: Sосн = π * r²
• Площадь боковой поверхности: Sбок = π * r * l, где l - образующая конуса.
• Полная площадь поверхности: S = Sосн + Sбок.

Шаг 2: Находим радиус и высоту конуса

Из условия задачи нам дан объем конуса, равный 725 дм³. Мы можем использовать формулу объема для нахождения радиуса и высоты конуса.

Перепишем формулу объема:

1. V = (1/3) * π * r² * h = 725

На этом этапе нам нужно выразить h через r. Для этого вспомним, что у нас прямоугольный треугольник с углом 45 градусов. Таким образом, высота и радиус равны между собой:

1. h = r

Теперь подставим h в формулу объема:

1. 725 = (1/3) * π * r² * r
2. 725 = (1/3) * π * r³

Теперь выразим r³:

1. r³ = (725 * 3) / π
2. r³ ≈ 692.78 (при π ≈ 3.14)

Теперь найдем r:

1. r ≈ (692.78)^(1/3) ≈ 8.83 дм.

Так как h = r, то высота конуса также равна 8.83 дм.

Шаг 3: Находим образующую конуса

Образующая l конуса может быть найдена по теореме Пифагора:

1. l = √(r² + h²) = √(8.83² + 8.83²) = √(2 * 8.83²) = 8.83 * √2 ≈ 12.48 дм.

Шаг 4: Находим полную площадь поверхности

Теперь мы можем найти полную площадь поверхности конуса:

1. Площадь основания: Sосн = π * r² ≈ 3.14 * (8.83)² ≈ 245.14 дм².
2. Площадь боковой поверхности: Sбок = π * r * l ≈ 3.14 * 8.83 * 12.48 ≈ 346.36 дм².
3. Полная площадь поверхности: S = Sосн + Sбок ≈ 245.14 + 346.36 ≈ 591.50 дм².

Ответ: Полная площадь поверхности конуса составляет примерно 591.50 дм².