Чтобы найти расстояние между отрезками A₁B и DB₁ в кубе ABCDA₁B₁C₁D₁, начнем с того, что определим координаты всех вершин куба. Предположим, что куб расположен в трехмерном пространстве следующим образом:

• A(0, 0, 0)
• B(a, 0, 0)
• C(a, a, 0)
• D(0, a, 0)
• A₁(0, 0, a)
• B₁(a, 0, a)
• C₁(a, a, a)
• D₁(0, a, a)

Теперь определим координаты концов отрезков:

• Отрезок A₁B имеет координаты: A₁(0, 0, a) и B(a, 0, a).
• Отрезок DB₁ имеет координаты: D(0, a, 0) и B₁(a, 0, a).

Теперь мы будем использовать формулу для нахождения расстояния между двумя параллельными отрезками в пространстве. Для этого нам нужно найти векторное уравнение каждого из отрезков и определить их направляющие векторы:

• Направляющий вектор отрезка A₁B: v₁ = B - A₁ = (a, 0, a) - (0, 0, a) = (a, 0, 0).
• Направляющий вектор отрезка DB₁: v₂ = B₁ - D = (a, 0, a) - (0, a, 0) = (a, -a, a).

Теперь найдем координаты точек на каждом из отрезков. Для отрезка A₁B можно взять точку P на отрезке, которая определяется параметром t:

• P(t) = A₁ + t * v₁ = (0, 0, a) + t * (a, 0, 0) = (ta, 0, a), где 0 ≤ t ≤ 1.

Для отрезка DB₁ можно взять точку Q на отрезке, которая определяется параметром s:

• Q(s) = D + s * v₂ = (0, a, 0) + s * (a, -a, a) = (sa, a - sa, sa), где 0 ≤ s ≤ 1.

Теперь, чтобы найти расстояние между отрезками, нам нужно минимизировать расстояние между точками P(t) и Q(s):

Расстояние между двумя точками P(t) и Q(s) можно выразить как:

D(t, s) = √((ta - sa)² + (0 - (a - sa))² + (a - sa)²).

Для минимизации этого расстояния можно использовать метод частных производных или просто подставить значения t и s, чтобы найти минимальное расстояние.

В результате, после вычислений, мы можем получить, что расстояние между отрезками A₁B и DB₁ в кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ равно: