Чтобы найти длину отрезка B₁C₁, воспользуемся свойством треугольников и пропорциями. Давайте разберем задачу шаг за шагом.

1. Понимание задачи: У нас есть треугольник ABC, и плоскость, параллельная стороне BC, пересекает стороны AB и AC в точках B₁ и C₁. Известно, что отношение отрезков AB₁ к B₁B равно 5:3.
2. Обозначение отрезков: Обозначим длину отрезка AB₁ как 5x, а длину отрезка B₁B как 3x, где x - некоторое положительное число. Таким образом, длина отрезка AB будет равна:
• AB = AB₁ + B₁B = 5x + 3x = 8x.
3. Применение теоремы о пропорциональных отрезках: Поскольку плоскость, параллельная стороне BC, делит стороны AB и AC пропорционально, то мы можем записать следующее отношение:
• AB₁ / B₁B = AC₁ / C₁C.
4. Вводим переменные: Пусть длина отрезка AC₁ будет равна k и длина отрезка C₁C будет равна m. Тогда мы имеем:
• 5x / 3x = k / m.
5. Пропорция: Из пропорции видно, что:
• 5m = 3k.
6. Сумма отрезков: Известно, что длина стороны BC равна 6 см. Так как отрезок B₁C₁ также будет пропорционален длине стороны BC, мы можем записать:
• B₁C₁ / BC = AB₁ / AB.
• B₁C₁ / 6 = 5x / 8x.
7. Решение пропорции: Упрощая, получим:
• B₁C₁ / 6 = 5/8.
8. Находим B₁C₁: Умножим обе стороны на 6:
• B₁C₁ = 6 * (5/8) = 30/8 = 3.75 см.

Ответ: Длина отрезка B₁C₁ составляет 3.75 см.