Чтобы найти наибольшую и наименьшую высоты треугольника с заданными сторонами a = 8 см, b = 10 см и c = 12 см, нам сначала нужно вычислить площадь этого треугольника. Для этого мы воспользуемся формулой Герона.

Шаги решения следующие:

1. Вычисление полупериметра:

   Полупериметр (s) треугольника вычисляется по формуле:

   s = (a + b + c) / 2

   Подставляем значения:

   s = (8 + 10 + 12) / 2 = 30 / 2 = 15 см

2. Вычисление площади треугольника:

   Площадь (S) треугольника можно найти по формуле Герона:

   S = √(s * (s - a) * (s - b) * (s - c))

   Подставляем значения:

   S = √(15 * (15 - 8) * (15 - 10) * (15 - 12))

   S = √(15 * 7 * 5 * 3) = √(1575) ≈ 39.686 см²

3. Вычисление высот:

   Высота (h) треугольника относительно стороны a, b и c вычисляется по формуле:

   h = 2S / основание

   Теперь найдем высоты относительно каждой стороны:

   • Высота относительно стороны a (h_a):

     h_a = 2S / a = 2 * 39.686 / 8 ≈ 9.921 см

   • Высота относительно стороны b (h_b):

     h_b = 2S / b = 2 * 39.686 / 10 ≈ 7.937 см

   • Высота относительно стороны c (h_c):

     h_c = 2S / c = 2 * 39.686 / 12 ≈ 6.640 см

Теперь мы можем подвести итоги:

• Наибольшая высота: h_a ≈ 9.921 см
• Наименьшая высота: h_c ≈ 6.640 см

Таким образом, наибольшая высота треугольника составляет примерно 9.921 см, а наименьшая - примерно 6.640 см.