Давайте решим первую задачу о площади основания правильной шестиугольной пирамиды.

Мы знаем, что площадь боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды рассчитывается по формуле:

• Площадь боковой поверхности = (Периметр основания * Высота боковой грани) / 2

В данной задаче нам известна площадь боковой поверхности (150 м²) и длина бокового ребра (10 м). Высота боковой грани в правильной шестиугольной пирамиде равна высоте треугольника, который образуется боковым ребром и половиной стороны основания.

Для начала, найдем сторону основания. Обозначим сторону основания шестиугольника как "a". Периметр основания будет равен:

• Периметр = 6 * a

Теперь, чтобы найти высоту боковой грани, воспользуемся теоремой Пифагора. Высота боковой грани h может быть найдена по следующей формуле:

• h = √(b^2 - (a/√3)^2), где b – длина бокового ребра (10 м).

Теперь можем выразить площадь боковой поверхности через найденные значения:

• 150 = (6 * a * h) / 2

Теперь подставим h:

• 150 = (6 * a * √(10^2 - (a/√3)^2)) / 2

Решив это уравнение, мы найдем сторону a, а затем сможем найти площадь основания шестиугольной пирамиды, используя формулу:

• Площадь основания = (3√3 / 2) * a^2

Теперь перейдем ко второй задаче о площади боковой поверхности прямой призмы.

У нас есть основание в виде прямоугольного треугольника с гипотенузой 5 ст и катетом 4 ст. Поскольку одна из граней является квадратом, это означает, что второй катет равен 4 ст, а высота призмы равна 4 ст.

Сначала найдем второй катет. Используем теорему Пифагора:

• c^2 = a^2 + b^2, где c – гипотенуза (5 ст), a – один катет (4 ст), b – второй катет.

Таким образом,:

• 5^2 = 4^2 + b^2
• 25 = 16 + b^2
• b^2 = 25 - 16 = 9
• b = 3 ст

Теперь мы можем найти площадь боковой поверхности призмы. Площадь боковой поверхности призмы рассчитывается по формуле:

• Площадь боковой поверхности = Периметр основания * Высота

Периметр основания (прямоугольного треугольника) равен:

• Периметр = 4 + 3 + 5 = 12 ст

Высота призмы равна 4 ст (так как одна грань является квадратом). Теперь подставляем значения:

• Площадь боковой поверхности = 12 * 4 = 48 ст²

Таким образом, мы нашли площади для обеих задач:

• Площадь основания правильной шестиугольной пирамиды - необходимо решить уравнение для нахождения a и подставить в формулу.
• Площадь боковой поверхности прямой призмы равна 48 ст².