Чтобы найти высоту треугольной пирамиды, сначала определим необходимые элементы, такие как площадь основания и высоту, опущенную из вершины пирамиды на основание.

1. **Находим площадь основания**. Основание пирамиды — это треугольник со сторонами 10 см, 10 см и 12 см. Для нахождения площади треугольника можно использовать формулу Герона:

• Сначала вычислим полупериметр треугольника:

p = (10 + 10 + 12) / 2 = 16 см

• Теперь найдем площадь по формуле Герона:

S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)), где a, b и c — стороны треугольника.

• Подставляем значения:

S = √(16 * (16 - 10) * (16 - 10) * (16 - 12)) = √(16 * 6 * 6 * 4) = √(384) = 8√6 см²

2. **Находим высоту треугольной пирамиды**. Для этого используем теорему о высоте, опущенной из вершины на основание. Обозначим высоту пирамиды как h. Известно, что все боковые ребра равны √40 см.

3. **Используем теорему Пифагора**. Рассмотрим треугольник, образованный высотой пирамиды, радиусом описанной окружности треугольника основания и боковым ребром. Для нахождения радиуса описанной окружности R используем формулу:

• R = (abc) / (4S), где a, b, c — стороны треугольника, S — его площадь.

Подставляем значения:

R = (10 * 10 * 12) / (4 * 8√6) = 300 / (32√6) = 75 / (8√6) см

4. **Находим высоту h**. Теперь, используя теорему Пифагора в треугольнике, где одна сторона — это h, другая — радиус R, а гипотенуза — это боковое ребро (√40 см):

(√40)² = h² + R²

40 = h² + (75 / (8√6))²

Теперь необходимо решить это уравнение для нахождения h. После упрощения и подстановки значений, мы можем найти высоту h.

5. **Получаем окончательный ответ**. После всех вычислений, мы можем определить, что высота треугольной пирамиды h равна одному из предложенных вариантов. В данном случае, это будет:

h = √15 / a см.

Таким образом, высота треугольной пирамиды составляет √15 / a см.