Для начала давайте разберем, что мы имеем в данной задаче. У нас есть треугольник ABC, в котором медиана BM и биссектрисса AR пересекаются в точке K. Мы знаем, что длина стороны AC относится к длине стороны AB как 10:7.

Теперь давайте обозначим длины сторон:

• AB = 7x
• AC = 10x

Сначала найдем площадь треугольника ABC. Площадь треугольника можно выразить через его стороны и угол между ними, но в нашем случае проще использовать соотношение сторон, так как мы знаем, что медиана и биссектрисса делят треугольник на части с определенными пропорциями.

Поскольку медиана BM делит сторону AC пополам, обозначим точку D как середину AC. Тогда AD = DC = 5x. Площадь треугольника ABK можно найти через площадь треугольника ABC, используя соотношение отрезков, на которые делит медиана.

Также, поскольку K - точка пересечения медианы и биссектрисы, то по свойству биссектрисы, отношение сторон AB и AC также будет влиять на площади треугольников, образованных этой биссектрисой.

Теперь найдем отношение площадей:

• Площадь треугольника ABK будет пропорциональна длине стороны AC, то есть 10x.
• Площадь треугольника ACK будет пропорциональна длине стороны AB, то есть 7x.

Таким образом, отношение площадей треугольника ABK к площади треугольника ACK будет равно:

• Площадь(ABK) : Площадь(ACK) = 10 : 7.

Теперь давайте рассмотрим четырехугольник KRSМ. Этот четырехугольник состоит из треугольников ABK и ACK. Площадь четырехугольника KRSМ будет равна сумме площадей этих двух треугольников:

Площадь(KRSM) = Площадь(ABK) + Площадь(ACK).

Теперь мы можем выразить отношение площади треугольника ABK к площади четырехугольника KRSМ:

• Площадь(ABK) : Площадь(KRSM) = Площадь(ABK) : (Площадь(ABK) + Площадь(ACK))
• Площадь(ABK) : Площадь(KRSM) = 10 : (10 + 7) = 10 : 17.

Таким образом, окончательное отношение площади треугольника ABK к площади четырехугольника KRSМ равно 10:17.