Каковы площадь прямоугольного треугольника, если его катеты относятся как 2 : 5, а высота, опущенная на гипотенузу, равна 20/√29?

Геометрия 8 класс Площадь прямоугольного треугольника площадь прямоугольного треугольника катеты 2:5 высота 20/√29 геометрия 8 класс задачи по геометрии Новый

Чтобы найти площадь прямоугольного треугольника, нам нужно знать длины его катетов или гипотенузы. В данной задаче катеты относятся как 2 : 5, а высота, опущенная на гипотенузу, равна 20/√29. Давайте решим задачу шаг за шагом.

Шаг 1: Обозначим катеты

• Пусть один катет равен 2x, а другой катет равен 5x, где x - некоторое положительное число.

Шаг 2: Найдем гипотенузу

• По теореме Пифагора, гипотенуза (c) прямоугольного треугольника вычисляется по формуле: c = √(a² + b²), где a и b - катеты.
• В нашем случае это будет: c = √((2x)² + (5x)²) = √(4x² + 25x²) = √(29x²) = x√29.

Шаг 3: Найдем площадь треугольника

• Площадь (S) прямоугольного треугольника можно найти по формуле: S = (1/2) * a * b, где a и b - катеты.
• В нашем случае: S = (1/2) * (2x) * (5x) = (1/2) * 10x² = 5x².

Шаг 4: Используем высоту для нахождения площади

• Также площадь можно выразить через высоту (h), опущенную на гипотенузу: S = (1/2) * c * h.
• В нашем случае: S = (1/2) * (x√29) * (20/√29) = (1/2) * x * 20 = 10x.

Шаг 5: Сравним два выражения для площади

• Теперь у нас есть два выражения для площади: 5x² = 10x.
• Решим это уравнение: 5x² - 10x = 0.
• Факторизуем: 5x(x - 2) = 0.
• Это уравнение имеет два решения: x = 0 (не подходит, так как x должен быть положительным) и x = 2.

Шаг 6: Найдем площадь

• Теперь подставим значение x в одно из выражений для площади: S = 5x² = 5 * (2)² = 5 * 4 = 20.

Таким образом, площадь данного прямоугольного треугольника равна 20 квадратных единиц.