Для решения задачи воспользуемся свойствами равнобедренной трапеции и тригонометрией.

Обозначим:

• h - высота трапеции (h = 5 дм);
• a - длина одного из оснований (обозначим его как основание 1);
• b - длина другого основания (основание 2);
• с - длина боковой стороны трапеции.

Согласно условию, сумма оснований равна 23 дм:

a + b = 23 дм

Так как трапеция равнобедренная, боковые стороны равны, и мы можем рассмотреть только одну из них. Поскольку острый угол равен 45 градусов, мы можем использовать свойства треугольника, образованного высотой и боковой стороной.

При проведении высоты из вершины острого угла к основанию, мы получаем прямоугольный треугольник, где:

• одна сторона (высота) равна 5 дм;
• другая сторона (горизонтальная проекция высоты) равна 5 дм, так как угол 45 градусов.

Таким образом, мы получаем, что:

с = h / sin(45°)

Так как sin(45°) = √2/2, то:

с = 5 / (√2/2) = 5 * (2/√2) = 5√2 дм.

Теперь найдем длину боковых сторон. Мы знаем, что:

Сумма оснований a + b = 23 дм, и боковые стороны равны, поэтому можно выразить длину основания через одну из боковых сторон:

Для нахождения длины боковых сторон, воспользуемся формулой:

с = √(h² + (d/2)²)

где d - разница между основаниями:

d = |a - b|.

Так как a + b = 23, можно выразить одно основание через другое:

b = 23 - a.

Теперь подставим это в формулу:

с = √(5² + ((23 - a)/2)²)

Мы знаем, что c = 5√2, подставим это значение:

5√2 = √(25 + ((23 - a)/2)²)

Теперь возведем обе стороны в квадрат:

(5√2)² = 25 + ((23 - a)/2)²

50 = 25 + ((23 - a)/2)²

25 = ((23 - a)/2)²

Теперь умножим обе стороны на 4:

100 = (23 - a)²

Извлекаем корень:

√100 = |23 - a|

10 = 23 - a или -10 = 23 - a

Решая первое уравнение:

a = 23 - 10 = 13

Решая второе уравнение:

a = 23 + 10 = 33 (не подходит, так как a + b = 23).

Таким образом, a = 13 дм, и подставим в уравнение для b:

b = 23 - a = 23 - 13 = 10 дм.

Теперь находим разницу оснований:

d = 13 - 10 = 3 дм.

Подставляем это значение в формулу для боковой стороны:

с = √(5² + (3/2)²) = √(25 + 2.25) = √27.25 ≈ 5.2 дм.

Таким образом, длина боковых сторон равнобедренной трапеции составляет примерно 5.2 дм.