2024-07-19 04:32:33
В трапеции ABCD с основаниями AD и BC точка О -точка пересечения диагоналей AC и BD. BO:OD=3:4. Найдите отношение площадей треугольников ABD и ABC. Кто решит, огромное-преогромное спасибо))
Геометрия 8 класс Трапеция. Свойства и признаки. точка пересечения диагоналей отношение площадей треугольников.
2024-07-19 04:32:43
Решение:
Проведём высоту $BH$ треугольника $ABD$. Тогда треугольники $AOD$ и $BHD$ подобны по двум углам ($\angle AOD=\angle BHD=90^\circ$, $\angle OAD=\angle OBD$).
Из подобия треугольников следует, что $\frac{AO}{DO}=\frac{BO}{OH}$, откуда $OH=\frac{4}{7}BD$.
Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на проведённую к ней высоту, поэтому $S{\Delta ABD}=\frac12 AD\cdot BH=\frac12 \cdot AD \cdot BO=\frac37 S{ABCD}$.
Поскольку треугольники $ABC$ и $ACD$ имеют общее основание $AC$, их площади относятся как высоты, проведённые к этому основанию, то есть $S{\Delta ABC}:S{\Delta ACD}=BH:DH$. Так как $DH=OD-OH=\frac77 BD-\frac47 BD=\frac37 BD$, то $S{\Delta ABC}=S{ABCD}-S{ACD}=S{ABCD}-\frac37S{ABCD}=\frac47S{ABCD}$ и, следовательно, $S{\Delta ABC}:S{\Delta ABD}=4:3$.
Ответ: $4:3$.
