Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 2. Точки M и N являются серединами рёбер AB и CC1 соответственно. Какое расстояние между точкой A и прямой MN?

Геометрия 8 класс Расстояние от точки до прямой в пространстве геометрия 8 класс расстояние между точками середина ребра куб ABCDA1B1C1D1 точка A прямая MN Новый

Для решения задачи начнем с определения координат всех ключевых точек куба ABCDA1B1C1D1, где ребро куба равно 2. Мы можем установить координаты следующим образом:

• A(0, 0, 0)
• B(2, 0, 0)
• C(2, 2, 0)
• D(0, 2, 0)
• A1(0, 0, 2)
• B1(2, 0, 2)
• C1(2, 2, 2)
• D1(0, 2, 2)

Теперь найдем координаты точек M и N:

• Точка M - середина ребра AB:
• M = ((0 + 2) / 2, (0 + 0) / 2, (0 + 0) / 2) = (1, 0, 0)
• Точка N - середина ребра CC1:
• N = ((2 + 2) / 2, (2 + 2) / 2, (0 + 2) / 2) = (2, 2, 1)

Теперь у нас есть координаты точек M и N:

• M(1, 0, 0)
• N(2, 2, 1)

Далее, найдем уравнение прямой MN. Для этого определим вектор MN:

• MN = N - M = (2 - 1, 2 - 0, 1 - 0) = (1, 2, 1)

Теперь мы можем записать параметрическое уравнение прямой MN:

• X = 1 + t
• Y = 0 + 2t
• Z = 0 + t

Теперь, чтобы найти расстояние от точки A(0, 0, 0) до прямой MN, необходимо использовать формулу для расстояния от точки до прямой в пространстве:

Расстояние от точки P(x0, y0, z0) до прямой, заданной точкой A(x1, y1, z1) и направляющим вектором v(a, b, c), вычисляется по формуле:

Distance = |(P - A) x v| / |v|

Где "x" - это векторное произведение, а "|" - длина вектора.

В нашем случае:

• P = (0, 0, 0)
• A = (1, 0, 0)
• v = (1, 2, 1)

Сначала найдем вектор PA:

• PA = A - P = (1 - 0, 0 - 0, 0 - 0) = (1, 0, 0)

Теперь найдем векторное произведение PA и v:

• PA x v = |i j k|
• |1 0 0|
• |1 2 1|

Вычисляем детерминант:

• i(0*1 - 0*2) - j(1*1 - 0*1) + k(1*2 - 0*1) = 0i - 1j + 2k = (0, -1, 2)

Теперь найдем длину этого вектора:

• |(0, -1, 2)| = sqrt(0^2 + (-1)^2 + 2^2) = sqrt(1 + 4) = sqrt(5)

Теперь найдем длину вектора v:

• |v| = |(1, 2, 1)| = sqrt(1^2 + 2^2 + 1^2) = sqrt(1 + 4 + 1) = sqrt(6)

Теперь подставим значения в формулу для расстояния:

Distance = |(PA x v)| / |v| = sqrt(5) / sqrt(6)

Таким образом, расстояние от точки A до прямой MN равно:

Расстояние = sqrt(5) / sqrt(6)