Для доказательства данной задачи начнем с определения, что такое параллелограмм. Четырехугольник является параллелограммом, если его противоположные стороны равны и параллельны.

Теперь рассмотрим четырехугольник ABCD, где K, L, M и N - середины сторон AB, BC, CD и DA соответственно. Из условия задачи нам известно, что прямые AL и CK пересекаются в точке P, а прямые AM и CM пересекаются в точке Q, и что четырехугольник APCQ является параллелограммом.

Исходя из того, что APCQ - параллелограмм, мы можем сделать следующие выводы:

• Стороны AP и CQ равны и параллельны.
• Стороны PC и AQ равны и параллельны.

Теперь рассмотрим свойства средних линий в треугольниках. В каждом из треугольников, образованных точками A, B, C и D, мы можем рассмотреть следующие треугольники:

• Треугольник ABL, где K - середина AB и L - середина BC.
• Треугольник CDB, где M - середина CD и N - середина DA.

Поскольку K, L, M и N являются серединами сторон, то по свойству средних линий мы можем утверждать, что:

• KL || AC и KL = 1/2 * AC.
• MN || AC и MN = 1/2 * AC.

Таким образом, стороны KL и MN равны и параллельны. Это означает, что если KL || MN, то также и AL || CK, что подтверждает, что точки P и Q находятся на одной линии, создавая условия для параллелограмма APCQ.

Теперь, если мы можем показать, что стороны AB || CD и AD || BC, то мы можем заключить, что ABCD - параллелограмм. Параллельность и равенство сторон APCQ может быть перенесено на ABCD через точки K, L, M и N, поскольку они являются серединами сторон.

Таким образом, если четырехугольник APCQ является параллелограммом, то мы можем заключить, что четырехугольник ABCD также является параллелограммом, так как его противоположные стороны равны и параллельны.

В итоге, мы доказали, что если четырехугольник APCQ является параллелограммом, то четырехугольник ABCD также является параллелограммом.