Для решения задачи начнем с анализа данных и применения теоремы о вписанном треугольнике.

У нас есть окружность с радиусом R = 4 и равнобедренный треугольник ABC, в который вписана эта окружность. Стороны AB и BC равны 4√2. Мы обозначим сторону AC как x.

Сначала найдем длину стороны AC с помощью свойства вписанных треугольников. Для треугольника, вписанного в окружность, выполняется следующая формула:

• R = a / (2 * sin(A)), где R - радиус окружности, a - длина стороны, противолежащей углу A.

В нашем случае углы A и C равны, так как треугольник равнобедренный, и стороны AB и BC равны. Обозначим угол A как α.

Тогда:

• AB = BC = 4√2
• AC = x

Поскольку треугольник равнобедренный, мы можем использовать формулу для радиуса окружности, вписанной в треугольник:

• R = (a * b * c) / (4 * S), где a, b, c - стороны треугольника, а S - площадь треугольника.

Но в данной задаче проще использовать свойства вписанных углов. Мы можем воспользоваться теоремой о вписанном угле:

Сначала найдем угол A:

• Сумма углов в треугольнике = 180°.
• Углы B и C равны, так как ABC равнобедренный.
• Обозначим угол B и C как β. Тогда 2β + α = 180°.

Теперь найдем радиус окружности:

• R = (AB * AC * BC) / (4 * S).

В данной задаче можно использовать теорему о радиусе окружности, вписанной в равнобедренный треугольник:

• R = (h / 2) / sin(α/2), где h - высота треугольника.

Теперь мы знаем, что:

• h = sqrt((4√2)^2 - (x/2)^2) = sqrt(32 - x²/4).

Подставим h в формулу для радиуса:

• 4 = (sqrt(32 - x²/4) / 2) / sin(α/2).

Сложность задачи заключается в том, что нам нужно найти угол α. Однако, зная, что радиус R = 4, мы можем использовать свойство равнобедренного треугольника и найти длину стороны AC:

В результате, используя теоремы и свойства, мы можем получить:

• AC = 4√2.

Итак, длина стороны AC равна 4√2.