В прямоугольном треугольнике сумма катетов равна 7 см, гипотенуза – 5 см.Какой радиус вписанной в него окружности можно найти в этом треугольнике?

Геометрия 8 класс Вписанная окружность в треугольнике прямоугольный треугольник сумма катетов гипотенуза радиус вписанной окружности геометрия 8 класс Новый

Чтобы найти радиус вписанной окружности в прямоугольном треугольнике, нам нужно знать длины всех сторон треугольника. В нашем случае у нас есть два катета и гипотенуза.

Обозначим катеты как a и b, а гипотенузу как c. Из условия задачи мы знаем, что:

• a + b = 7 см
• c = 5 см

В прямоугольном треугольнике выполняется теорема Пифагора:

c² = a² + b²

Подставим значение гипотенузы:

5² = a² + b²

25 = a² + b²

Теперь у нас есть система уравнений:

• 1) a + b = 7
• 2) a² + b² = 25

Решим первое уравнение относительно одного из катетов. Например, выразим b:

b = 7 - a

Теперь подставим b во второе уравнение:

a² + (7 - a)² = 25

Раскроем скобки:

a² + (49 - 14a + a²) = 25

2a² - 14a + 49 = 25

Упростим уравнение:

2a² - 14a + 24 = 0

Разделим все коэффициенты на 2:

a² - 7a + 12 = 0

Теперь найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта:

D = b² - 4ac = (-7)² - 4 * 1 * 12 = 49 - 48 = 1

Корни уравнения:

a = (7 ± √D) / 2

a = (7 ± 1) / 2

Таким образом, у нас есть два значения для a:

• a₁ = (7 + 1) / 2 = 4 см
• a₂ = (7 - 1) / 2 = 3 см

Следовательно, катеты равны 4 см и 3 см. Теперь мы можем найти радиус вписанной окружности (r) в прямоугольном треугольнике по формуле:

r = (a + b - c) / 2

Подставим известные значения:

r = (4 + 3 - 5) / 2 = 2 / 2 = 1 см

Таким образом, радиус вписанной окружности в данном треугольнике равен 1 см.