Для решения задачи начнем с анализа данных, которые у нас есть. У нас есть равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC, и проведена биссектриса BK. Дано, что отрезок CK равен 8, а отношение площадей треугольников ABK и BCK составляет 8 к 1.

Шаг 1: Понимание отношения площадей

Отношение площадей треугольников ABK и BCK равно 8:1. Это означает, что площадь треугольника ABK в 8 раз больше площади треугольника BCK.

Шаг 2: Обозначение площадей

• Пусть площадь треугольника BCK равна S.
• Тогда площадь треугольника ABK будет равна 8S.

Шаг 3: Общая площадь треугольника ABC

Общая площадь треугольника ABC будет равна:

• PABC = ABK + BCK = 8S + S = 9S.

Шаг 4: Использование высоты

Поскольку BK является биссектрисой, то оно делит сторону AC на отрезки CK и AK. Мы знаем, что CK = 8, но нам нужно найти AK.

Шаг 5: Применение отношения площадей

Поскольку треугольники ABK и BCK имеют общую высоту (BK), то отношение их оснований будет равно отношению площадей:

• ABK/BCK = AK/CK = 8.

Это означает, что:

• AK = 8 * CK = 8 * 8 = 64.

Шаг 6: Находим стороны треугольника

Теперь у нас есть длины отрезков:

• CK = 8,
• AK = 64.

Сторона AC равна AK + CK = 64 + 8 = 72.

Поскольку треугольник равнобедренный, то AB = AC = 72.

Шаг 7: Находим периметр треугольника ABC

Периметр треугольника ABC будет равен:

• P = AB + AC + BC.

Мы знаем, что AB = AC = 72, теперь нам нужно найти BC. Поскольку BK - биссектрисa, то по свойству биссектрисы:

• BC = AB + AC - CK = 72 + 72 - 8 = 136.

Теперь можем подставить значения в формулу периметра:

• P = 72 + 72 + 136 = 280.

Ответ: Периметр треугольника ABC равен 280.