В равнобедренном треугольнике ABC угол при вершине B равен 108 градусов. Перпендикуляр к биссектрисе AD этого треугольника, проходящий через точку D, пересекает сторону AC в точке E. Докажите, что отрезок DE равен отрезку BD.

Геометрия 8 класс Равнобедренный треугольник и его свойства равнобедренный треугольник угол B 108 градусов биссектрисы перпендикуляр отрезок DE отрезок BD геометрия 8 класс доказательство свойства треугольников точки пересечения углы треугольника теоремы геометрии Новый

В равнобедренном треугольнике ABC, где угол при вершине B равен 108 градусов, мы знаем, что стороны AB и AC равны. Давайте обозначим основание треугольника, то есть сторону BC, и рассмотрим биссектрису AD, которая делит угол B на два равных угла.

Так как угол B равен 108 градусов, то угол BAD и угол CAD будут равны и составляют по 54 градуса каждый (108 / 2 = 54). Теперь, так как AD является биссектрисой, она также является перпендикуляром к основанию BC, если провести перпендикуляр из точки D на сторону AC, который пересечет AC в точке E.

Теперь давайте проанализируем треугольник BDE. У нас есть следующие данные:

• Угол BDE равен 90 градусов, так как DE перпендикулярен AD.
• Угол ABD равен 54 градуса, так как это один из углов, образованных биссектрисой.

Следовательно, угол BED равен 36 градусам (угол треугольника равен 180 градусов, значит 180 - 90 - 54 = 36). Теперь у нас есть треугольник BDE, в котором:

• Угол BDE = 90 градусов
• Угол ABD = 54 градусов
• Угол BED = 36 градусов

Теперь обратим внимание на треугольник ADE. В нем угол ADE тоже равен 90 градусов, и угол BAD равен 54 градусам. Это означает, что угол AED будет также равен 36 градусам (180 - 90 - 54 = 36).

Таким образом, мы видим, что в треугольниках BDE и ADE углы равны:

• Угол BDE = угол ADE = 90 градусов
• Угол ABD = угол BAD = 54 градуса
• Угол BED = угол AED = 36 градусов

Это показывает, что треугольники BDE и ADE подобны по углам (по критерию равенства углов). Поскольку они подобны, то соответствующие стороны пропорциональны. В частности, так как DE и BD являются соответствующими сторонами, мы можем заключить, что DE равно BD.

Таким образом, мы доказали, что отрезок DE равен отрезку BD в данном равнобедренном треугольнике ABC.