Для решения задачи начнем с того, что у нас есть равнобедренный треугольник, в котором угол при основании составляет 30°. Обозначим вершину треугольника как A, а основания как B и C. Таким образом, AB = AC = 9 (боковые стороны), а угол ABC = угол ACB = 30°.

Теперь нам нужно найти длину основания BC и затем вычислить квадрат этой длины.

1. Для начала проведем высоту AD из вершины A на основание BC. Так как треугольник равнобедренный, высота также будет являться медианой и биссектрисой. Обозначим точку D как основание высоты на стороне BC.

2. Угол BAD составляет 30°, а угол ABD равен 90° (так как AD - высота). Таким образом, треугольник ABD является прямоугольным, и мы можем использовать тригонометрические функции для нахождения длины отрезка BD.

3. В треугольнике ABD:

• Синус угла BAD = противолежащий катет / гипотенуза.
• Синус 30° = BD / AB.

Зная, что синус 30° равен 0.5, мы можем записать:

0.5 = BD / 9

Отсюда находим BD:

BD = 9 * 0.5 = 4.5.

4. Так как D - середина основания BC, длина отрезка DC также равна 4.5. Следовательно, длина всего основания BC равна:

BC = BD + DC = 4.5 + 4.5 = 9.

5. Теперь, чтобы найти квадрат длины основания, просто возведем в квадрат:

BC^2 = 9^2 = 81.

Ответ: Квадрат длины основания равнобедренного треугольника равен 81.