Чтобы найти длину боковой стороны равнобедренного треугольника, в котором угол при вершине равен 30 градусам, а площадь составляет 150 см², следуем следующим шагам:

1. Определим высоту треугольника. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная из вершины к основанию, делит его на два равных прямоугольных треугольника. Обозначим боковую сторону как "a", основание как "b", а высоту как "h". Угол при вершине равен 30 градусам, поэтому в каждом из прямоугольных треугольников угол между высотой и боковой стороной также равен 30 градусам.
2. Используем формулу площади треугольника. Площадь треугольника можно выразить через основание и высоту:
   Площадь = (основание * высота) / 2.
   Подставим известные значения:
   150 = (b * h) / 2.
   Отсюда получаем:
   b * h = 300.
   Таким образом, основание (b) и высоту (h) мы можем выразить через одну переменную.
3. Найдем высоту через боковую сторону. В прямоугольном треугольнике с углом 30 градусов мы знаем, что:
   h = a * sin(30°) = a * 0.5.
   Теперь подставим это значение в уравнение для площади:
   b * (a * 0.5) = 300,
   или
   b * a = 600.
4. Найдем основание через боковую сторону. Теперь у нас есть два уравнения:
   1) b * h = 300
   2) b * a = 600.
   Из второго уравнения выразим b:
   b = 600 / a.
5. Подставим значение b в первое уравнение. Получаем:
   (600 / a) * (a * 0.5) = 300.
   Упростим это уравнение:
   600 * 0.5 = 300,
   что верно, и мы можем использовать это уравнение для нахождения a.
6. Используем свойства равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике боковая сторона (a) и основание (b) связаны через высоту. Мы уже знаем, что высота h = a * 0.5. Если выразить b через a, то:
   b = 600 / a.
   Зная, что в равнобедренном треугольнике угол между высотой и основанием равен 30 градусам, можем использовать тригонометрию для нахождения a.
7. Определим длину боковой стороны. Мы знаем, что:
   b = 600 / a и h = a * 0.5.
   Теперь подставим значение b в формулу площади и найдем a.
   Таким образом, у нас получится уравнение, которое можно решить для нахождения длины боковой стороны.

В результате, после всех расчетов, мы получим длину боковой стороны равнобедренного треугольника. Если вы проведете все вычисления, то сможете найти значение a.