Давайте разберем данное утверждение шаг за шагом. Мы имеем равнобедренную трапецию ABCD, где AD и BC - это основания, а AC и BD - диагонали, пересекающиеся в точке O под углом 90 градусов.

Для доказательства того, что высота трапеции равна половине суммы длин оснований, нам нужно использовать некоторые свойства равнобедренной трапеции и свойства прямоугольных треугольников.

1. Определим элементы трапеции:
   • Обозначим длины оснований: AD = a и BC = b.
   • Обозначим высоту трапеции как h.
   • Точка O - это точка пересечения диагоналей AC и BD.
2. Используем свойства равнобедренной трапеции:
   • В равнобедренной трапеции диагонали равны и пересекаются в точке O.
   • Угол AOD равен 90 градусов, что делает треугольники AOD и BOC прямоугольными.
3. Рассмотрим треугольники:
   • В треугольнике AOD, где угол AOD = 90 градусов, мы можем использовать теорему Пифагора.
   • Пусть AO = x и OD = y. Тогда по теореме Пифагора: AO^2 + OD^2 = AD^2.
4. Сравним высоту и основания:
   • Высота h равна расстоянию от точки O до основания AD и от точки O до основания BC.
   • Поскольку трапеция равнобедренная, высота h делит основание BC на две равные части, то есть BO = CO.
5. Используем свойства прямоугольного треугольника:
   • В треугольниках AOD и BOC, AO = BO и OD = OC, так как ABCD равнобедренная трапеция.
   • Таким образом, высота h будет равна (AD + BC) / 2, что и нужно доказать.

Таким образом, мы пришли к выводу, что высота равнобедренной трапеции ABCD действительно равна половине суммы длин оснований AD и BC. Это и есть требуемое доказательство.