В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке O. Как можно доказать, что площади треугольников AOB и COD равны?

Геометрия 8 класс Площади треугольников и трапеции геометрия 8 класс трапеция ABCD основания AD BC диагонали пересечение точка O доказательство площади треугольники AOB COD равны Новый

Давайте рассмотрим трапецию ABCD, где AD и BC - основания, а диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Нам нужно доказать, что площади треугольников AOB и COD равны. Для этого мы последовательно выполним следующие шаги:

1. Рассмотрим треугольники AOB и COD.

   • Диагонали AC и BD пересекаются в точке O, деля трапецию на четыре треугольника: AOB, BOC, COD и DOA.

2. Используем свойство трапеции.

   • В трапеции диагонали делят друг друга на отрезки, пропорциональные основаниям. Это значит, что:
   • AO/OC = BO/OD.

3. Рассмотрим отношение площадей треугольников.

   • Площадь треугольника можно выразить через основание и высоту: S = 1/2 * основание * высота.
   • Пусть h - высота треугольников AOB и COD, опущенная из точек A и C на основание BD.
   • Тогда площади треугольников AOB и COD можно записать как:
   • S(AOB) = 1/2 * AO * h и S(COD) = 1/2 * OC * h.

4. Используем пропорциональность отрезков.

   • Так как AO/OC = BO/OD, то AO = OC (поскольку BO и OD - равные отрезки).
   • Следовательно, AO = OC.

5. Сравним площади треугольников.

   • Подставим AO = OC в формулы площадей:
   • S(AOB) = 1/2 * AO * h и S(COD) = 1/2 * OC * h.
   • Поскольку AO = OC, то S(AOB) = S(COD).

Таким образом, мы доказали, что площади треугольников AOB и COD равны.