В треугольнике АВС угол С равен 90 градусов, АВ составляет 25 см, а ВС - 24 см. СН перпендикулярно АВ. Как можно определить длины АС, СН, АН, ВН и выразить синус, косинус и тангенс угла А?

Геометрия 8 класс Треугольники и их свойства треугольник ABC угол C 90 градусов длина AB 25 см длина BC 24 см перпендикуляр CH длина AC длина CH длина AH длина BH синус угла A косинус угла A тангенс угла A Новый

Чтобы решить эту задачу, начнем с того, что у нас есть прямоугольный треугольник ABC, где угол C равен 90 градусов. Даны следующие данные:

• AB = 25 см (гипотенуза)
• BC = 24 см (катет)

Сначала найдем длину катета AC с помощью теоремы Пифагора, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

1. Запишем формулу: AC^2 + BC^2 = AB^2.
2. Подставим известные значения: AC^2 + 24^2 = 25^2.
3. Решим уравнение: AC^2 + 576 = 625.
4. Теперь найдем AC^2: AC^2 = 625 - 576 = 49.
5. Извлечем корень: AC = √49 = 7 см.

Теперь у нас есть длина всех сторон треугольника ABC:

• AC = 7 см
• BC = 24 см
• AB = 25 см

Теперь найдем длину отрезка CH, который является высотой, проведенной из вершины C к гипотенузе AB. Для этого воспользуемся формулой для площади треугольника:

1. Площадь треугольника можно вычислить двумя способами:
2. 1. Через катеты: S = (AC * BC) / 2 = (7 * 24) / 2 = 84 см².
3. 2. Через гипотенузу и высоту: S = (AB * CH) / 2.
4. Приравняем площади: 84 = (25 * CH) / 2.
5. Решим уравнение: 168 = 25 * CH.
6. CH = 168 / 25 = 6.72 см.

Теперь найдем длины отрезков AH и BH. Поскольку CH перпендикулярно AB, мы можем использовать теорему о средних пропорциях:

1. AH = (AC^2) / AB = (7^2) / 25 = 49 / 25 = 1.96 см.
2. BH = (BC^2) / AB = (24^2) / 25 = 576 / 25 = 23.04 см.

Теперь у нас есть все необходимые длины:

• AC = 7 см
• CH = 6.72 см
• AH = 1.96 см
• BH = 23.04 см

Теперь давайте выразим синус, косинус и тангенс угла A:

• Синус угла A: sin(A) = противолежащий катет / гипотенуза = BC / AB = 24 / 25.
• Косинус угла A: cos(A) = прилежащий катет / гипотенуза = AC / AB = 7 / 25.
• Тангенс угла A: tan(A) = противолежащий катет / прилежащий катет = BC / AC = 24 / 7.

Таким образом, мы нашли все необходимые длины и значения тригонометрических функций для угла A.