Для решения задачи нам нужно определить длину вектора, который равен сумме векторов MA, 0.5MN и PB. Давайте разберем каждый из этих векторов по отдельности.

Шаг 1: Определение координат точек пирамиды.

Начнем с того, что правильная пирамида KLMNP имеет основание в виде правильного многоугольника (в данном случае квадрата), и вершина P расположена над центром этого основания. Поскольку все рёбра равны 8, можно установить координаты точек следующим образом:

• K(0, 0, 0)
• L(8, 0, 0)
• M(8, 8, 0)
• N(0, 8, 0)
• P(4, 4, h), где h - высота пирамиды.

Для нахождения h воспользуемся теоремой Пифагора. Мы знаем, что расстояние от P до любой из вершин основания (например, до K) должно быть равно 8:

h = sqrt(8^2 - 4^2) = sqrt(64 - 16) = sqrt(48) = 4sqrt(3).

Шаг 2: Определение точек A и B.

Теперь найдем координаты точек A и B:

• Точка A — середина ребра LP. Координаты A: ((8 + 4)/2, (0 + 4)/2, (0 + h)/2) = (6, 2, 2sqrt(3)).
• Точка B — середина ребра KN. Координаты B: ((0 + 0)/2, (0 + 8)/2, (0 + 0)/2) = (0, 4, 0).

Шаг 3: Вычисление векторов MA, MN и PB.

Теперь найдем векторы MA, MN и PB:

• MA = A - M = (6 - 8, 2 - 8, 2sqrt(3) - 0) = (-2, -6, 2sqrt(3)).
• MN = N - M = (0 - 8, 8 - 8, 0 - 0) = (-8, 0, 0).
• PB = B - P = (0 - 4, 4 - 4, 0 - h) = (-4, 0, -4sqrt(3)).

Шаг 4: Вычисление суммы векторов.

Теперь мы можем вычислить сумму векторов:

• 0.5MN = 0.5 * (-8, 0, 0) = (-4, 0, 0).
• Сумма векторов: MA + 0.5MN + PB = (-2, -6, 2sqrt(3)) + (-4, 0, 0) + (-4, 0, -4sqrt(3)) = (-10, -6, -2sqrt(3)).

Шаг 5: Вычисление длины итогового вектора.

Теперь найдем длину итогового вектора (-10, -6, -2sqrt(3)). Длина вектора вычисляется по формуле:

длина = sqrt((-10)^2 + (-6)^2 + (-2sqrt(3))^2) = sqrt(100 + 36 + 12) = sqrt(148) = 2sqrt(37).

Ответ: Длина вектора, равного сумме векторов MA + 0.5MN + PB, равна 2sqrt(37).