Задача: Диагональ прямоугольника равна 26 см, а его периметр составляет 68 см. Каковы длины сторон этого прямоугольника?

Геометрия 8 класс Прямоугольники и их свойства геометрия 8 класс задача диагональ прямоугольника периметр длины сторон прямоугольник решение задачи математические задачи свойства прямоугольника Новый

Для решения задачи нам нужно найти длины сторон прямоугольника, зная его диагональ и периметр. Обозначим стороны прямоугольника как a и b.

Шаг 1: Используем формулу периметра.

Периметр P прямоугольника рассчитывается по формуле:

P = 2(a + b).

В нашем случае периметр равен 68 см, поэтому:

2(a + b) = 68.

Разделим обе стороны уравнения на 2:

a + b = 34.

Шаг 2: Используем формулу диагонали.

Диагональ d прямоугольника можно найти по теореме Пифагора:

d = √(a² + b²).

В нашем случае диагональ равна 26 см, значит:

√(a² + b²) = 26.

Теперь возведем обе стороны уравнения в квадрат:

a² + b² = 26².

Это дает нам:

a² + b² = 676.

Шаг 3: Составим систему уравнений.

У нас есть две уравнения:

• 1) a + b = 34
• 2) a² + b² = 676

Шаг 4: Выразим одну переменную через другую.

Из первого уравнения выразим b:

b = 34 - a.

Шаг 5: Подставим b во второе уравнение.

Теперь подставим значение b во второе уравнение:

a² + (34 - a)² = 676.

Раскроем скобки:

a² + (34² - 68a + a²) = 676.

Это упрощается до:

2a² - 68a + 1156 = 676.

Теперь вычтем 676 из обеих сторон:

2a² - 68a + 480 = 0.

Шаг 6: Упростим уравнение.

Разделим все коэффициенты на 2:

a² - 34a + 240 = 0.

Шаг 7: Найдем корни квадратного уравнения.

Для нахождения корней используем дискриминант:

D = b² - 4ac = (-34)² - 4 * 1 * 240 = 1156 - 960 = 196.

Теперь находим корни:

a = (34 ± √196) / 2.

√196 = 14, поэтому:

a = (34 ± 14) / 2.

Это дает два значения:

a₁ = (34 + 14) / 2 = 24,

a₂ = (34 - 14) / 2 = 10.

Шаг 8: Найдем b.

Теперь, зная a, найдем b:

Если a = 24, то b = 34 - 24 = 10.

Если a = 10, то b = 34 - 10 = 24.

Ответ:

Таким образом, длины сторон прямоугольника равны 24 см и 10 см.