Для решения данной задачи мы будем последовательно находить высоту пирамиды, угол между векторами и центр тяжести треугольника.

Высота пирамиды, опущенная из вершины D, будет перпендикулярна плоскости, в которой лежит основание ABC. Сначала найдем уравнение плоскости ABC.

1. Находим векторы AB и AC:
• AB = B - A = (1, -3, 1) - (1, 4, 2) = (0, -7, -1)
• AC = C - A = (-1, 1, -1) - (1, 4, 2) = (-2, -3, -3)
2. Теперь найдем вектор нормали к плоскости ABC, используя векторное произведение AB и AC:
• n = AB × AC = |i j k|
• |0 -7 -1|
• |-2 -3 -3|
• n = (21 - 3, 0 - 2, 0 + 14) = (18, -2, 14)
3. Уравнение плоскости ABC имеет вид: 18(x - 1) - 2(y - 4) + 14(z - 2) = 0.
4. Подставим координаты точки D в уравнение плоскости и найдем расстояние от точки D до плоскости:
• 18(-2 - 1) - 2(1 + 3) + 14(1 - 2) = -54 - 8 - 14 = -76.
• Расстояние от точки D до плоскости = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2), где (x0, y0, z0) - координаты D.
• Расстояние = |-76| / sqrt(18^2 + (-2)^2 + 14^2) = 76 / sqrt(400) = 76 / 20 = 3.8.

Угол ∠BAC можно найти с помощью скалярного произведения векторов AB и AC:

1. Сначала найдем длины векторов AB и AC:
• |AB| = sqrt(0^2 + (-7)^2 + (-1)^2) = sqrt(49 + 1) = sqrt(50) = 5√2.
• |AC| = sqrt((-2)^2 + (-3)^2 + (-3)^2) = sqrt(4 + 9 + 9) = sqrt(22).
2. Теперь найдем скалярное произведение AB и AC:
• AB • AC = 0*(-2) + (-7)*(-3) + (-1)*(-3) = 0 + 21 + 3 = 24.
3. Теперь используем формулу для нахождения угла:
• cos(∠BAC) = (AB • AC) / (|AB| * |AC|) = 24 / (5√2 * sqrt(22)) = 24 / (5√44).
• Угол ∠BAC = arccos(24 / (5√44)).

Центр тяжести треугольника находится как среднее арифметическое координат его вершин:

1. Координаты A, B и C: A(1, 4, 2), B(1, -3, 1), C(-1, 1, -1).
2. Центр тяжести G = (x1 + x2 + x3)/3, (y1 + y2 + y3)/3, (z1 + z2 + z3)/3:
• xG = (1 + 1 - 1) / 3 = 1 / 3.
• yG = (4 - 3 + 1) / 3 = 2 / 3.
• zG = (2 + 1 - 1) / 3 = 2 / 3.