а) Найдем основания трапеции ABCD.

Дано, что углы при большем основании AD равны 53° и 37°. Обозначим основание AD как a, а основание BC как b. Отрезок, соединяющий середины оснований, равен 3, а отрезок, соединяющий середины боковых сторон, равен 5.

Сначала используем формулу для нахождения длины отрезка, соединяющего середины оснований:

• MN = (AD + BC) / 2

Подставим известные значения:

• 3 = (a + b) / 2

Умножим обе стороны на 2:

• a + b = 6 (1)

Теперь используем отрезок, соединяющий середины боковых сторон. Этот отрезок равен 5:

• h = 5

Где h - высота трапеции. Для нахождения высоты h можно использовать формулы для сторон и углов:

• h = AD * sin(53°) = a * sin(53°)
• h = BC * sin(37°) = b * sin(37°)

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. a + b = 6 (1)
2. a * sin(53°) = b * sin(37°) (2)

Решим систему уравнений. Из уравнения (1) выразим b:

• b = 6 - a

Подставим b в уравнение (2):

• a * sin(53°) = (6 - a) * sin(37°)

Решим это уравнение относительно a. Найдем значения sin(53°) и sin(37°) (примерно 0.7986 и 0.6018 соответственно):

• a * 0.7986 = (6 - a) * 0.6018

Раскроем скобки и соберем все a в одну сторону:

• 0.7986a + 0.6018a = 6 * 0.6018

Теперь найдем a:

• 1.4004a = 3.6108
• a ≈ 2.58

Теперь подставим a в уравнение (1) для нахождения b:

• b = 6 - 2.58 ≈ 3.42

Ответ: основания трапеции AD ≈ 2.58 и BC ≈ 3.42.

б) Найдем длины оснований и сторону CD.

Дано, что AB перпендикулярна основаниям, AD > BC, и диагонали AC и BD перпендикулярны друг другу. Отрезок, соединяющий середины оснований, равен 5, а AB = 4.

Обозначим AD как a и BC как b. Используем формулу для отрезка, соединяющего середины оснований:

• 5 = (a + b) / 2

Умножим обе стороны на 2:

• a + b = 10 (1)

Так как AB = 4 и она перпендикулярна основаниям, высота h равна AB, т.е. h = 4.

Поскольку диагонали перпендикулярны, можно использовать теорему Пифагора:

• AC^2 + BD^2 = AB^2

Где AC = h, а BD = (AD - BC) = (a - b).

Подставим значения:

• 4^2 + (a - b)^2 = 4^2

Сократим:

• (a - b)^2 = 0

Следовательно, a - b = 0, то есть a = b.

Теперь подставим a = b в уравнение (1):

• 2a = 10
• a = 5

Таким образом, основания равны:

• AD = 5
• BC = 5

Сторона CD равна:

• CD = √(AB^2 + (AD - BC)^2) = √(4^2 + (5 - 5)^2) = 4.

Ответ: AD = 5, BC = 5, CD = 4.

в) Найдем значение AD.

Дано, что BC = 3, MN = 7 и AM:MB = 5:4.

Сначала найдем длину отрезка, соединяющего середины оснований:

• MN = (AD + BC) / 2

Подставим известные значения:

• 7 = (AD + 3) / 2

Умножим обе стороны на 2:

• 14 = AD + 3

Теперь найдем AD:

• AD = 14 - 3 = 11.

Ответ: AD = 11.