Дан куб. а) Как выяснить и доказать взаимное расположение прямых AD1 и DC1? б) Как найти угол между ними?

Геометрия 9 класс Прямые и углы в пространстве куб взаимное расположение прямых угол между прямыми геометрия доказательство прямые AD1 и DC1 Новый

Давайте разберем вашу задачу по шагам.

а) Как выяснить и доказать взаимное расположение прямых AD1 и DC1?

Для начала, обозначим вершины куба. Пусть у нас есть куб ABCD-A1B1C1D1. Вершины куба можно представить следующим образом:

• A(0, 0, 0)
• B(1, 0, 0)
• C(1, 1, 0)
• D(0, 1, 0)
• A1(0, 0, 1)
• B1(1, 0, 1)
• C1(1, 1, 1)
• D1(0, 1, 1)

Теперь рассмотрим прямые AD1 и DC1:

• Прямая AD1 соединяет точки A(0, 0, 0) и D1(0, 1, 1).
• Прямая DC1 соединяет точки D(0, 1, 0) и C1(1, 1, 1).

Чтобы выяснить взаимное расположение этих прямых, нужно проверить, пересекаются ли они, параллельны ли они или являются скрещивающимися.

Для этого найдем уравнения этих прямых:

1. Прямая AD1:
   • x = 0
   • y = t (где t изменяется от 0 до 1)
   • z = t (где t изменяется от 0 до 1)
2. Прямая DC1:
   • x = t (где t изменяется от 0 до 1)
   • y = 1
   • z = t (где t изменяется от 0 до 1)

Теперь найдем точки пересечения. Чтобы найти точку пересечения, нужно решить систему уравнений:

• 0 = t (для x)
• t = 1 (для y)
• t = t (для z)

Система не имеет решения, следовательно, прямые не пересекаются и не параллельны, значит, они являются скрещивающимися.

б) Как найти угол между ними?

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми, мы можем использовать векторы, направляющие эти прямые. Найдем векторы:

• Вектор AD1: V1 = D1 - A = (0, 1, 1) - (0, 0, 0) = (0, 1, 1)
• Вектор DC1: V2 = C1 - D = (1, 1, 1) - (0, 1, 0) = (1, 0, 1)

Теперь найдем угол между векторами V1 и V2 с помощью формулы:

cos(α) = (V1 * V2) / (|V1| * |V2|),

где * - скалярное произведение, |V| - длина вектора.

Сначала найдем скалярное произведение V1 и V2:

• V1 * V2 = 0 * 1 + 1 * 0 + 1 * 1 = 0 + 0 + 1 = 1.

Теперь найдем длины векторов:

• |V1| = sqrt(0^2 + 1^2 + 1^2) = sqrt(2),
• |V2| = sqrt(1^2 + 0^2 + 1^2) = sqrt(2).

Теперь подставим в формулу:

cos(α) = 1 / (sqrt(2) * sqrt(2)) = 1 / 2.

Следовательно, угол α = arccos(1/2) = 60 градусов.

Таким образом, мы выяснили, что прямые AD1 и DC1 скрещивающиеся и угол между ними равен 60 градусов.