Для решения этой задачи давайте сначала вспомним некоторые свойства прямоугольного треугольника и медиан.

Обозначим наш прямоугольный треугольник как ABC, где угол C - прямой. Пусть AB - гипотенуза, а высота, опущенная из вершины C на гипотенузу AB, будет равна h = 12. Гипотенуза AB равна c = 25.

Сначала найдем длины катетов. Мы знаем, что площадь прямоугольного треугольника можно выразить двумя способами:

• Через катеты: S = (a * b) / 2, где a и b - длины катетов.
• Через гипотенузу и высоту: S = (c * h) / 2, где c - длина гипотенузы, h - высота.

Сравнив оба выражения для площади, получаем:

(a * b) / 2 = (c * h) / 2

Упрощая, получаем:

a * b = c * h

Подставим известные значения:

a * b = 25 * 12 = 300

Теперь нам нужно выразить длины катетов a и b. Поскольку это прямоугольный треугольник, мы можем использовать теорему Пифагора:

a² + b² = c²

Подставим значение c:

a² + b² = 25² = 625

Теперь у нас есть система уравнений:

1. a * b = 300
2. a² + b² = 625

Теперь выразим b через a из первого уравнения:

b = 300 / a

Подставим это значение во второе уравнение:

a² + (300 / a)² = 625

Упростим уравнение:

a² + 90000 / a² = 625

Умножим всё на a², чтобы избавиться от дроби:

a^4 - 625a² + 90000 = 0

Обозначим x = a². Тогда уравнение примет вид:

x² - 625x + 90000 = 0

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b² - 4ac = (-625)² - 4 * 1 * 90000 = 390625 - 360000 = 30625

Теперь найдем корни:

x1,2 = (625 ± sqrt(30625)) / 2

Вычислив, мы получим два значения для x, а затем найдем соответствующие значения для a и b.

Теперь, когда у нас есть длины катетов, мы можем найти длины медиан, проведенных к катетам. Длина медианы m, проведенной к катету a, вычисляется по формуле:

m_a = (1/2) * sqrt(2b² + 2c² - a²)

А для катета b:

m_b = (1/2) * sqrt(2a² + 2c² - b²)

Теперь подставим найденные значения a и b в эти формулы и найдем длины медиан. После этого мы можем найти их отношение:

Отношение медиан m_a к m_b будет равно:

m_a / m_b

Таким образом, мы можем вычислить искомое отношение длин медиан.