Чтобы определить площадь области, ограниченной кривыми y = x^3, y = 0 и вертикальными линиями x = 1 и x = 2, мы можем следовать следующим шагам:

1. Построить графики функций.
   • Функция y = x^3 - это кубическая функция, которая принимает положительные значения в диапазоне от x = 1 до x = 2.
   • Горизонтальная линия y = 0 - это ось абсцисс.
   • Вертикальные линии x = 1 и x = 2 ограничивают нашу область по оси x.
2. Определить границы интегрирования.
   • Мы будем интегрировать от x = 1 до x = 2.
3. Записать интеграл для площади.
   • Площадь области под кривой y = x^3 и над осью y = 0 можно найти с помощью определенного интеграла:
   • Площадь = ∫ от 1 до 2 (x^3) dx.
4. Вычислить интеграл.
   • Для вычисления интеграла ∫ x^3 dx мы используем правило интегрирования:
   • ∫ x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C, где n = 3.
   • Таким образом, ∫ x^3 dx = (x^4)/4 + C.
5. Подставить границы интегрирования.
   • Теперь подставим границы интегрирования в наш результат:
   • ∫ от 1 до 2 (x^3) dx = [(x^4)/4] от 1 до 2.
   • Подставляем верхнюю границу: (2^4)/4 = 16/4 = 4.
   • Подставляем нижнюю границу: (1^4)/4 = 1/4.
   • Теперь вычтем: 4 - 1/4 = 4 - 0.25 = 3.75.
6. Записать окончательный ответ.
   • Таким образом, площадь области, ограниченной кривыми, равна 3.75.

Итак, площадь области, ограниченной кривыми y = x^3, y = 0 и вертикальными линиями x = 1 и x = 2, составляет 3.75 квадратных единиц.