Как можно построить проекцию плоскости, используя точки A (40, 70, 40), B (90, 5, 70) и C (65, 60, 15)?

Геометрия 9 класс Плоскости в пространстве построение проекции плоскости геометрия 9 класс точки A B C координаты точек проекция плоскости Новый

Чтобы построить проекцию плоскости, заданной тремя точками A, B и C, нам необходимо выполнить несколько шагов. Давайте разберем процесс поэтапно.

Шаг 1: Определение векторов плоскости

Сначала мы найдем два вектора, которые лежат в плоскости, используя заданные точки.

• Вектор AB: он определяется как разность координат точки B и точки A.
• Вектор AC: он определяется как разность координат точки C и точки A.

Формулы для вычисления векторов:

• AB = B - A = (90 - 40, 5 - 70, 70 - 40) = (50, -65, 30)
• AC = C - A = (65 - 40, 60 - 70, 15 - 40) = (25, -10, -25)

Шаг 2: Нахождение нормального вектора плоскости

Теперь мы можем найти нормальный вектор плоскости, используя векторы AB и AC. Для этого мы воспользуемся векторным произведением.

Векторное произведение двух векторов A и B в трехмерном пространстве определяется как:

• N = AB x AC

Вычислим компоненты нормального вектора N:

• N_x = (-65) * (-25) - (30) * (-10) = 1625 + 300 = 1925
• N_y = (30) * (25) - (50) * (-25) = 750 + 1250 = 2000
• N_z = (50) * (-10) - (-65) * (25) = -500 + 1625 = 1125

Шаг 3: Уравнение плоскости

Теперь, когда мы имеем нормальный вектор N, мы можем записать уравнение плоскости. Уравнение плоскости в общем виде выглядит так:

N_x * (x - x_0) + N_y * (y - y_0) + N_z * (z - z_0) = 0

где (x_0, y_0, z_0) — это координаты одной из точек, например, A.

Подставим значения:

• 1925 * (x - 40) + 2000 * (y - 70) + 1125 * (z - 40) = 0

Шаг 4: Проекция плоскости

Теперь, чтобы построить проекцию плоскости, нужно выбрать плоскость проекции. Например, если мы хотим проецировать на плоскость XY, мы можем игнорировать координату Z.

Для этого мы можем взять уравнение плоскости и выразить z через x и y:

• z = (N_x * (x - x_0) + N_y * (y - y_0) + N_z * (z_0)) / N_z

Теперь мы можем визуализировать проекцию плоскости на плоскость XY, подставляя разные значения x и y.

Вывод

Таким образом, мы построили проекцию плоскости, заданной точками A, B и C, и получили уравнение плоскости. Это позволяет нам рассмотреть плоскость в трехмерном пространстве и ее проекцию на двумерную плоскость.