2025-11-03 09:23:59
Как решить задачи по теме «Векторы на плоскости»?
- В ромбе АВСД, где диагональ ВД равна стороне ромба, как найти угол между векторами СД и АД?
- Если точка М находится на стороне ВС параллелограмма АВСД и BM / MC = 4/1, как выразить вектор АМ через векторы BC и BA?
- В параллелограмме АВСД, как вычислить выражение СА - СД + АВ?
- Как найти модуль вектора, если d = 5i + 2j, u = 3i + 4j, а m = 1/5a + 3b?
- Для векторов m(1; 0), n(2; 2) и a(2; x), как найти:
- а) косинус угла между векторами m и n;
- b) значение x, если векторы m и a коллинеарны;
- c) значение x, если векторы m и a перпендикулярны.
Геометрия 9 класс Векторы на плоскости векторы на плоскости задачи по геометрии угол между векторами векторные операции параллелограмм модуль вектора коллинеарные векторы перпендикулярные векторы вычисление векторов геометрические задачи
2025-11-03 09:24:39
Чтобы решить задачи по теме «Векторы на плоскости», нужно знать основные свойства векторов, такие как сложение, вычитание, скалярное произведение, а также правила работы с координатами. Давайте разберем каждую задачу по порядку.
1. Угол между векторами СД и АД в ромбе АВСДВ ромбе все стороны равны, и диагонали пересекаются под прямым углом. Если диагональ БД равна стороне ромба, это означает, что ромб является квадратом. Чтобы найти угол между векторами СД и АД, можно воспользоваться свойствами векторов:
- Определим векторы СД и АД. Например, пусть вектор АД = (x1, y1) и вектор СД = (x2, y2).
- Найдем скалярное произведение векторов: AД • СД = x1*x2 + y1*y2.
- Найдем длины векторов: |АД| = sqrt(x1^2 + y1^2) и |СД| = sqrt(x2^2 + y2^2).
- Используя формулу для нахождения косинуса угла между векторами, получим: cos(θ) = (АД • СД) / (|АД| * |СД|).
- Угол θ можно найти как θ = arccos(cos(θ)).
Если точка М делит сторону ВС в отношении 4:1, то можно выразить вектор АМ через векторы BC и BA следующим образом:
- Определим вектор М как: M = B + (4/5)(C - B).
- Теперь вектор АМ можно записать как: АМ = М - А = (B + (4/5)(C - B)) - A.
- Подставив векторы BC = C - B и BA = A - B, получаем: АМ = (4/5)BC + (1/5)BA.
В параллелограмме АВСД можно выразить векторы через другие:
- СА = -АВ, так как векторы направлены в противоположные стороны.
- СД = -BC, так как СД и BC являются параллельными и равными по длине.
- Теперь подставим: СА - СД + АВ = -АВ + BC + АВ.
- Упрощаем: СА - СД + АВ = BC.
Чтобы найти модуль вектора d, используем формулу:
- |d| = sqrt((5^2) + (2^2)) = sqrt(25 + 4) = sqrt(29).
Векторы u и m можно найти аналогично, если потребуется.
5. Косинус угла между векторами m и n; значение x для коллинеарных и перпендикулярных векторовДля векторов m(1; 0) и n(2; 2):
- Косинус угла между векторами: cos(θ) = (m • n) / (|m| * |n|).
- Скалярное произведение: m • n = 1*2 + 0*2 = 2.
- Длину векторов: |m| = 1, |n| = sqrt(2^2 + 2^2) = sqrt(8) = 2sqrt(2).
- Теперь cos(θ) = 2 / (1 * 2sqrt(2)) = 1 / sqrt(2), следовательно, θ = 45°.
Для коллинеарности: векторы m и a должны быть пропорциональны, то есть 1/2 = 2/x, отсюда x = 4.
Для перпендикулярности: m • a = 0, тогда 1*2 + 0*x = 0, отсюда x = 0.
Таким образом, для каждой задачи нужно применять основные свойства векторов и уметь работать с их координатами.