Чтобы найти длину отрезка AB в правильной треугольной пирамиде SABC, давайте разберем данную задачу по шагам.

• В правильной треугольной пирамиде SABC основание ABC является равносторонним треугольником.
• Точка R - это середина ребра BC, следовательно, BR = RC.

Площадь боковой поверхности пирамиды состоит из трех треугольников: SAB, SAC и SBC. Поскольку SABC - правильная пирамида, все боковые грани равны.

Площадь боковой поверхности равна 168. Поскольку у нас три боковые грани, площадь одной боковой грани равна:

Площадь одной грани = 168 / 3 = 56.

Площадь треугольника можно выразить через основание и высоту:

Площадь = (1/2) * основание * высота.

Обозначим длину стороны AB как a. Тогда основание треугольника SAB равно a, а высота h будет проведена из точки S к основанию AB.

Согласно формуле площади:

56 = (1/2) * a * h.

Отсюда получаем:

h = (56 * 2) / a = 112 / a.

В данной задаче нам также известно, что длина отрезка SR составляет 16. Отрезок SR соединяет вершину S с серединой ребра BC. Мы можем выразить h через SR и высоту, проведенную из точки S к основанию ABC.

Обозначим высоту треугольника ABC как H. Тогда:

h^2 + (a/2)^2 = SR^2.

Подставим известные значения:

h^2 + (a/2)^2 = 16^2 = 256.

Теперь подставим h = 112 / a в уравнение:

(112 / a)^2 + (a/2)^2 = 256.

Преобразуем это уравнение:

(12544 / a^2) + (a^2 / 4) = 256.

Умножим все на 4a^2, чтобы избавиться от дробей:

12544 * 4 + a^4 = 1024a^2.

Таким образом, получаем:

4 * 12544 + a^4 = 1024a^2.

Теперь у нас есть уравнение, которое можно решить относительно a:

a^4 - 1024a^2 + 50176 = 0.

Это квадратное уравнение относительно a^2. Обозначим x = a^2:

x^2 - 1024x + 50176 = 0.

Решим его с помощью дискриминанта:

D = 1024^2 - 4 * 1 * 50176 = 1048576 - 200704 = 848832.

Теперь найдем корни:

x = (1024 ± √848832) / 2.

После нахождения x, мы можем найти a, так как a = √x.

После всех расчетов мы получим значение длины отрезка AB. Не забудьте проверить, что найденные значения имеют смысл в контексте задачи.

Таким образом, длина отрезка AB в правильной треугольной пирамиде SABC равна a.