Давайте разберем каждый из ваших вопросов по порядку.

1. Существует ли выпуклый пятиугольник с углами 100°, 110°, 155°, 165° и 200°?

Чтобы определить, существует ли выпуклый пятиугольник с заданными углами, нужно проверить, выполняется ли условие для суммы внутренних углов.

• Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника с n сторонами рассчитывается по формуле: (n-2) * 180°.
• Для пятиугольника (n = 5) сумма углов будет: (5-2) * 180° = 3 * 180° = 540°.
• Теперь сложим данные углы: 100° + 110° + 155° + 165° + 200° = 730°.

Поскольку 730° больше 540°, такой выпуклый пятиугольник не может существовать.

2. Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если сумма его внутренних углов равна 1440°?

Используем ту же формулу для определения количества сторон:

• Сумма внутренних углов многоугольника: (n-2) * 180° = 1440°.
• Решим уравнение: n-2 = 1440° / 180°.
• 1440° / 180° = 8, значит n - 2 = 8, откуда n = 10.

Таким образом, многоугольник имеет 10 сторон.

3. Докажите, что четырехугольник ABC, вершинами которого являются середины отрезков OM, OK, ON и OZ соответственно, является параллелограммом.

В параллелограмме MKNZ диагонали пересекаются в точке O. Это означает, что:

• Отрезок OM равен отрезку ON, так как они являются частями одной и той же диагонали.
• Отрезок OK равен отрезку OZ по той же причине.

Согласно свойству середины отрезков, отрезки AB и CD, соединяющие середины отрезков OM и OK, а также ON и OZ, будут параллельны и равны. Это значит, что ABC является параллелограммом.

4. Найдите все углы параллелограмма, если отношение градусных мер двух из них равно 4:5.

Обозначим углы параллелограмма как A, B, C и D. Поскольку противолежащие углы равны, мы можем записать:

• A = C
• B = D

Сумма всех углов параллелограмма равна 360°. Если A и B имеют отношение 4:5, то можно записать:

• A = 4x
• B = 5x

Тогда:

• 4x + 5x + 4x + 5x = 360°
• 18x = 360°
• x = 20°.

Теперь подставим значение x:

• A = 4 * 20° = 80°
• B = 5 * 20° = 100°

Таким образом, углы параллелограмма: 80°, 100°, 80°, 100°.

5. В равнобедренной трапеции боковая сторона равна 8 см, а средняя линия трапеции - 10 см. Найдите периметр.

В равнобедренной трапеции средняя линия равна полусумме оснований:

• Средняя линия = (a + b) / 2, где a и b - основания.
• 10 = (a + b) / 2, откуда a + b = 20.

Пусть основания равны a и b, тогда:

• Периметр P = a + b + 2h, где h - высота.

Для нахождения высоты воспользуемся свойствами равнобедренной трапеции. Мы можем провести перпендикуляры от концов меньшего основания к большему, образуя прямоугольный треугольник. Поскольку высота и половина разности оснований образуют прямоугольный треугольник с боковой стороной:

• h^2 + (a - b)/2^2 = 8^2.

Однако, поскольку у нас нет конкретных значений для a и b, можно только сказать, что для вычисления периметра нам нужно знать длины оснований. Если предположить, что a = 10 см и b = 10 см, тогда:

• P = 10 + 10 + 8 + 8 = 36 см.

Таким образом, периметр равнобедренной трапеции можно найти, если известны основания.