В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O. Известно, что длина стороны |AB| равна 5 см, а длина отрезка |AO| равна 6.5 см. Как найти длины векторов BD и AD?

Геометрия 9 класс Векторы и их свойства прямоугольник ABCD диагонали пересекаются длина стороны AB длина отрезка AO векторы BD и AD геометрические задачи свойства прямоугольника длина диагонали решение задач по геометрии Новый

Давайте разберем задачу шаг за шагом.

В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O. Известно, что длина стороны |AB| равна 5 см, а длина отрезка |AO| равна 6.5 см. Мы должны найти длины векторов |BD| и |AD|.

1. Определим координаты вершин прямоугольника.

• Пусть A(0, 0) — одна из вершин.
• Тогда B(5, 0) — вершина, находящаяся на стороне AB.
• C(5, h) — вершина, находящаяся напротив A, где h — высота прямоугольника.
• D(0, h) — вершина, находящаяся напротив B.

2. Найдем координаты точки O, где пересекаются диагонали.

Диагонали прямоугольника делят его пополам. Поэтому координаты точки O будут:

• O = ((x_A + x_C) / 2, (y_A + y_C) / 2) = ((0 + 5) / 2, (0 + h) / 2) = (2.5, h / 2).

3. Используем известную длину отрезка |AO|.

Длина отрезка |AO| равна 6.5 см. Используем формулу для нахождения длины отрезка:

• |AO| = √((x_O - x_A)² + (y_O - y_A)²).

Подставим координаты A и O:

• 6.5 = √((2.5 - 0)² + (h / 2 - 0)²).

Теперь возведем обе стороны в квадрат:

• 6.5² = (2.5)² + (h / 2)².
• 42.25 = 6.25 + (h² / 4).

Теперь выразим h²:

• 42.25 - 6.25 = h² / 4.
• 36 = h² / 4.
• h² = 144.
• h = 12 см.

4. Теперь найдем длину вектора |AD|.

Вектор |AD| — это просто высота h, так что:

• |AD| = h = 12 см.

5. Теперь найдем длину вектора |BD|.

Вектор |BD| можно найти через длину диагонали. Длина диагонали прямоугольника вычисляется по формуле:

• |BD| = √(|AB|² + |AD|²) = √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13 см.

Ответ: Длина вектора |AD| равна 12 см, длина вектора |BD| равна 13 см.