Чтобы найти периметр треугольника AOB, начнем с анализа данной информации и использования свойств прямоугольника.

1. В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O. Это означает, что AO = OC и BO = OD, так как диагонали в прямоугольнике равны и делят друг друга пополам.

2. Нам известно, что угол CAD равен 30 градусов, и длина стороны AC равна 12 см. Поскольку AC является диагональю прямоугольника, мы можем использовать свойства треугольника AOC для нахождения его сторон.

3. В треугольнике AOC угол CAD равен 30 градусам, а AC – это гипотенуза. Мы можем найти длины сторон AO и OC, используя соотношения в прямоугольном треугольнике.

• AO = AC * cos(30°) = 12 * (√3 / 2) = 6√3 см
• OC = AC * sin(30°) = 12 * (1/2) = 6 см

4. Теперь мы можем найти длину стороны AB. Поскольку ABCD – это прямоугольник, и угол AOB является прямым, то AB = OC = 6 см.

5. Теперь мы можем найти длину стороны BO. Поскольку BO = AO, то BO также равно 6√3 см.

6. Теперь у нас есть все стороны треугольника AOB:

• AB = 6 см
• AO = 6√3 см
• BO = 6√3 см

7. Периметр треугольника AOB можно найти, сложив все его стороны:

Периметр = AB + AO + BO = 6 + 6√3 + 6√3 = 6 + 12√3 см.

Таким образом, периметр треугольника AOB равен 6 + 12√3 см.