Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как 2:3:7. Какой радиус окружности, если меньшая из сторон равна 16?

Геометрия 9 класс Окружность и треугольники геометрия 9 класс треугольник окружность радиус дуги длины дуг отношение стороны треугольника задача математика решение задач окружность треугольника свойства треугольника Новый

Чтобы решить эту задачу, нужно использовать свойства окружности, описанной около треугольника, и соотношения дуг, которые соответствуют углам треугольника.

1. Сначала обозначим дуги окружности. Пусть длины дуг, на которые вершины треугольника делят окружность, равны 2x, 3x и 7x. Так как сумма всех дуг окружности равна ее полному периметру, то:

2x + 3x + 7x = 12x

Поскольку полный круг равен 360 градусам, то:

12x = 360 градусов

Отсюда находим x:

x = 30 градусов

Теперь можно найти величины дуг:

• Первая дуга: 2x = 60 градусов
• Вторая дуга: 3x = 90 градусов
• Третья дуга: 7x = 210 градусов

2. В треугольнике углы при вершинах будут равны половинам соответствующих дуг, поскольку угол, вписанный в окружность, равен половине дуги, на которую он опирается. Тогда углы треугольника равны:

• Угол при первой вершине: 60 / 2 = 30 градусов
• Угол при второй вершине: 90 / 2 = 45 градусов
• Угол при третьей вершине: 210 / 2 = 105 градусов

3. Теперь используем теорему синусов для треугольника:

a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C) = 2R

где a, b, c - стороны треугольника, A, B, C - углы треугольника, R - радиус описанной окружности.

Пусть меньшая сторона треугольника равна 16. Эта сторона будет против угла 30 градусов. Тогда:

16 / sin(30) = 2R

Значение синуса 30 градусов равно 1/2, поэтому:

16 / (1/2) = 2R

Отсюда:

16 * 2 = 2R

32 = 2R

Таким образом, радиус окружности:

R = 32 / 2 = 16

Ответ: радиус окружности равен 16.