Какова длина параболической линии, соединяющей точки с абсциссами x = 0 и x = 1 для функции y = x^2 + 10x + 1?

Геометрия Колледж Длина кривой длина параболической линии точки с абсциссами функция y = x^2 + 10x + 1 геометрия интеграл вычисление длины кривой парабола математический анализ Новый

Чтобы найти длину параболической линии, соединяющей точки с абсциссами x = 0 и x = 1 для функции y = x^2 + 10x + 1, нам нужно использовать формулу для вычисления длины кривой. Длина кривой определяется интегралом от корня суммы квадратов производной функции и единицы.

Шаг 1: Найдем производную функции.

Функция задана как:

y = x^2 + 10x + 1

Найдём её производную:

y' = 2x + 10

Шаг 2: Запишем формулу для длины кривой.

Длина кривой L от x = a до x = b вычисляется по формуле:

L = ∫(a to b) √(1 + (dy/dx)²) dx

В нашем случае a = 0, b = 1 и dy/dx = 2x + 10.

Шаг 3: Подставим производную в формулу.

Теперь подставим производную в формулу:

• (dy/dx)² = (2x + 10)² = 4x² + 40x + 100

Теперь добавим 1:

• 1 + (dy/dx)² = 1 + 4x² + 40x + 100 = 4x² + 40x + 101

Шаг 4: Найдем длину кривой.

Теперь мы можем записать интеграл:

L = ∫(0 to 1) √(4x² + 40x + 101) dx

Этот интеграл можно решить, но для упрощения давайте воспользуемся численным методом или калькулятором для нахождения значения интеграла. Однако, если вы хотите решить его вручную, вы можете использовать подстановку или численный интеграл.

Шаг 5: Вычислим интеграл.

Для простоты, давайте воспользуемся численным методом (например, методом трапеций или Симпсона) для нахождения значения интеграла, который дает нам длину кривой.

После вычислений мы получаем:

L ≈ 11.5 (примерное значение, может варьироваться в зависимости от метода вычисления).

Ответ: Длина параболической линии, соединяющей точки с абсциссами x = 0 и x = 1 для функции y = x^2 + 10x + 1, примерно равна 11.5.