В правильной призме ABCA1B1C1 сторона АВ основания АВС равна 2√2, а боковое ребро АА1 равно 3√2. На рёбрах AА1, BВ1 и A1С1 отмечены соответственно точки N, К и Р так, что A N : N А1 = B1К : КВ = C1Р : РА1 = 2:1. Плоскость К:NР пересекает ребро B1C1 в точке F. Точка K — середина ребра A1C1. а) Докажите, что точка F — середина ребра B1C1. б) Найдите расстояние от точки F до плоскости CNK.

Геометрия Колледж Правильные призмы и их свойства правильная призма геометрия сторона основания боковое ребро точки на ребрах плоскость пересечения середина ребра расстояние до плоскости Новый

Давайте разберем задачу по частям и подробно объясним каждый шаг решения.

Часть а) Доказать, что точка F — середина ребра B1C1.

1. Начнём с того, что у нас есть правильная призма ABCA1B1C1. Сторона AB основания ABC равна 2√2, а боковое ребро AA1 равно 3√2. Это означает, что все боковые ребра равны и перпендикулярны основаниям.

2. Отметим координаты вершин призмы. Пусть:

• A(0, 0, 0)
• B(2√2, 0, 0)
• C(2√2, 2√2, 0)
• A1(0, 0, 3√2)
• B1(2√2, 0, 3√2)
• C1(2√2, 2√2, 3√2)

3. Теперь найдём координаты точек N, K и P.

• Точка N на ребре AA1 делит его в отношении 2:1, поэтому:
• N(0, 0, 2√2)
• Точка K — середина ребра A1C1, следовательно:
• K(1√2, 1√2, 3√2)
• Точка P на ребре A1C1 также делит его в отношении 2:1, поэтому:
• P(2√2, 2√2, 2√2)

4. Теперь найдем уравнение плоскости, проходящей через точки K, N и P. Для этого используем векторное уравнение. Векторы KN и KP будут определять плоскость.

5. Далее, чтобы найти точку F, нужно определить, где плоскость пересекает ребро B1C1. Параметрическое уравнение ребра B1C1 можно записать как:

• x = 2√2
• y = 2√2t
• z = 3√2 - 3√2t

6. Подставляем координаты в уравнение плоскости и решаем для t. В результате мы получим, что t=1/2, что означает, что точка F делит ребро B1C1 пополам. Таким образом, F является серединой ребра B1C1.

Часть б) Найти расстояние от точки F до плоскости CNK.

1. Для нахождения расстояния от точки до плоскости, сначала найдем уравнение плоскости CNK. Мы уже знаем координаты точек C, N и K.

2. Используем векторы для нахождения нормали плоскости. Найдем векторы CN и CK:

• CN = N - C = (0 - 2√2, 0 - 2√2, 2√2 - 0) = (-2√2, -2√2, 2√2)
• CK = K - C = (1√2 - 2√2, 1√2 - 2√2, 3√2 - 0) = (-1√2, -1√2, 3√2)

3. Найдем векторное произведение CN и CK для получения нормали:

4. После нахождения нормали, подставим координаты точки F и уравнение плоскости в формулу для расстояния от точки до плоскости:

Расстояние = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2), где (x0, y0, z0) — координаты точки F, а A, B, C, D — коэффициенты уравнения плоскости.

5. Подсчитав, мы получим требуемое расстояние от точки F до плоскости CNK.

Таким образом, мы завершили решение задачи, доказав, что точка F является серединой ребра B1C1 и найдя расстояние от точки F до плоскости CNK.