В выпуклом четырёхугольнике ABCD заданы стороны AB=5, BC=4, CD=2, DA=1. Лучи BA и CD пересекаются в точке P, а лучи AD и BC — в точке Q. Каково значение выражения PD+PA−QC−QD?

Геометрия Колледж Геометрия выпуклого четырёхугольника выпуклый четырёхугольник стороны четырехугольника пересечение лучей геометрические задачи значение выражения Новый

Для решения задачи начнем с понимания, что нам нужно найти значение выражения PD + PA - QC - QD, где P и Q - точки пересечения лучей.

1. Сначала определим, что такое точки P и Q:

• P - точка пересечения лучей BA и CD.
• Q - точка пересечения лучей AD и BC.

2. Теперь мы можем воспользоваться свойствами выпуклого четырехугольника и его сторон:

• Сторона AB = 5, BC = 4, CD = 2, DA = 1.

3. Мы можем использовать теорему о пересечении двух прямых, чтобы выразить PD, PA, QC и QD через стороны четырехугольника. Однако, в данной задаче есть интересное свойство, которое упростит наши вычисления.

4. Заметим, что:

• PD + PA = PC + PB, где C и B - точки на линии, которые соединяют P и A.
• QC + QD = QA + QB, где A и B - точки на линии, которые соединяют Q и D.

5. Воспользуемся тем, что в выпуклом четырехугольнике сумма длин отрезков, соединяющих точки пересечения с противоположными вершинами, равна общей длине отрезков:

• PD + PA = AB + CD = 5 + 2 = 7.
• QC + QD = AD + BC = 1 + 4 = 5.

6. Теперь подставим эти значения в выражение:

PD + PA - QC - QD = 7 - 5 = 2.

Таким образом, значение выражения PD + PA - QC - QD равно 2.