Для решения задачи нам необходимо найти уравнение плоскости, которая проходит через ребро AB и делит объем треугольной пирамиды пополам. Начнем с анализа данных.

Вершины пирамиды:

• A(1, 0, 0)
• B(0, 1, 0)
• C(0, 0, 1)
• D(1, 1, 1)

Ребро AB соединяет точки A и B. Уравнение плоскости можно записать в общем виде:

Ax + By + Cz + D = 0

Так как плоскость проходит через ребро AB, мы можем выразить ее уравнение в зависимости от координат этих точек. Для начала найдем вектор, который будет перпендикулярен искомой плоскости.

Вектор AB можно найти следующим образом:

• AB = B - A = (0, 1, 0) - (1, 0, 0) = (-1, 1, 0)

Теперь нам нужно найти точку, которая делит объем пирамиды пополам. Для этого мы можем воспользоваться центроидом треугольной пирамиды, который находится по формуле:

Центроид G = (x1 + x2 + x3 + x4) / 4, (y1 + y2 + y3 + y4) / 4, (z1 + z2 + z3 + z4) / 4.

Подставляем координаты вершин:

• Gx = (1 + 0 + 0 + 1) / 4 = 0.5
• Gy = (0 + 1 + 0 + 1) / 4 = 0.5
• Gz = (0 + 0 + 1 + 1) / 4 = 0.5

Таким образом, координаты центроида G равны (0.5, 0.5, 0.5).

Теперь, чтобы найти уравнение плоскости, которая проходит через точку G и перпендикулярна вектору AB, мы можем использовать векторное уравнение плоскости:

n * (r - r0) = 0,

где n - нормальный вектор плоскости, r - радиус-вектор произвольной точки на плоскости, r0 - радиус-вектор точки G.

Нормальный вектор n можно взять как (-1, 1, 0) (это вектор AB, но мы можем использовать его векторное произведение с другим вектором, чтобы получить нормальный вектор).

Однако, чтобы упростить задачу, мы можем взять коэффициенты A, B и C как компоненты нормального вектора. Поскольку плоскость должна проходить через точку (0.5, 0.5, 0.5), подставим это в уравнение:

-1 * 0.5 + 1 * 0.5 + 0 * 0.5 + D = 0.

Упрощая, получаем:

-0.5 + 0.5 + D = 0,

откуда D = 0.

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через ребро AB и делящей объем пирамиды пополам, будет:

-x + y = 0,

или, что эквивалентно:

y = x.

Это уравнение описывает плоскость, которая проходит через точку G и делит объем пирамиды пополам.