Чтобы определить, какой из вариантов слитного написания "не" с прилагательным является правильным, необходимо помнить правила написания "не" с прилагательными.

Правила написания "не" с прилагательными:

• Слитно пишется "не" с прилагательными, если они не употребляются в сравнительном значении или не имеют противоположного значения.
• Раздельно пишется "не" с прилагательными, если прилагательное употребляется в значении, противоположном по смыслу.

Теперь рассмотрим каждый из предложенных вариантов:

1. (не) громкий, а тихий стук - здесь "не" пишется раздельно, так как "громкий" и "тихий" имеют противоположные значения.
2. (не) далёкий путь - здесь "не" пишется слитно, так как "далёкий" не имеет противоположного значения.
3. (не) верный ответ - здесь "не" пишется слитно, так как "верный" не имеет противоположного значения.
4. вовсе (не) смешной случай - здесь "не" пишется раздельно, так как "смешной" и "несмешной" имеют противоположные значения.
5. (не) весёлые, а грустные мысли - здесь "не" пишется раздельно, так как "весёлые" и "грустные" также имеют противоположные значения.

Таким образом, правильный вариант слитного написания "не" с прилагательным - это (не) далёкий путь.