Как определить алгебраическую и тригонометрическую форму степени комплексного числа?

Информатика 9 класс Комплексные числа алгебраическая форма тригонометрическая форма степень комплексного числа определение комплексного числа свойства комплексных чисел Новый

Чтобы определить алгебраическую и тригонометрическую форму степени комплексного числа, нужно следовать определенным шагам. Давайте разберем их по порядку.

1. Алгебраическая форма комплексного числа:

Алгебраическая форма комплексного числа записывается в виде:

z = a + bi

где a - действительная часть, b - мнимая часть, а i - мнимая единица (i^2 = -1).

2. Преобразование в тригонометрическую форму:

Чтобы преобразовать комплексное число в тригонометрическую форму, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти модуль комплексного числа z:

Модуль r вычисляется по формуле:

r = √(a² + b²)

2. Найти аргумент комплексного числа:

Аргумент φ вычисляется с помощью арктангенса:

φ = arctan(b/a)

Важно учитывать, в каком квадранте находится комплексное число, чтобы правильно определить значение аргумента.

3. Записать тригонометрическую форму:

Тригонометрическая форма комплексного числа записывается как:

z = r (cos φ + i sin φ)

3. Определение степени комплексного числа:

Для нахождения степени комплексного числа в тригонометрической форме, используем формулу:

z^n = r^n (cos(nφ) + i sin(nφ))

где n - это степень, в которую возводится комплексное число.

Пример:

Рассмотрим комплексное число z = 1 + i.

1. Находим модуль:

r = √(1² + 1²) = √2.

2. Находим аргумент:

φ = arctan(1/1) = π/4 (45 градусов).

3. Записываем тригонометрическую форму:

z = √2 (cos(π/4) + i sin(π/4)).

4. Теперь найдем, например, квадрат этого числа:

z² = (√2)² (cos(2 * π/4) + i sin(2 * π/4)) = 2 (cos(π/2) + i sin(π/2)) = 2i.

Таким образом, мы определили алгебраическую и тригонометрическую формы комплексного числа и нашли его степень.