1. Определение тригонометрических функций:

Чтобы определить, какие из перечисленных функций являются тригонометрическими, нужно обратить внимание на наличие тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса, котангенса и их производных.

• а) y = 2 cos 2x + 5 - тригонометрическая, так как содержит косинус.
• б) y = ctg² x + sin³ x - тригонометрическая, так как содержит котангенс и синус.
• в) y = cos (2π/9) + x - не тригонометрическая, так как содержит только константу и переменную x.
• г) y = 5 + x³ - не тригонометрическая, так как это полиномиальная функция.

Таким образом, тригонометрические функции: а) и б).

2. Упрощение выражений:

1. (sin α - cos α)² + sin 2α:
• Раскроем скобки: (sin α - cos α)² = sin² α - 2 sin α cos α + cos² α.
• Используем тождество sin² α + cos² α = 1: 1 - 2 sin α cos α + sin 2α.
• Заменим sin 2α на 2 sin α cos α: 1 - 2 sin α cos α + 2 sin α cos α = 1.
2. 1 - 4 sin² α cos² α:
• Используем тождество sin 2α = 2 sin α cos α: 1 - (2 sin α cos α)² = 1 - sin² 2α.

3. Найдите значения sin 2α, cos 2α:

Если sin α = 4/5, то можем найти cos α, используя тождество sin² α + cos² α = 1:

• cos² α = 1 - sin² α = 1 - (4/5)² = 1 - 16/25 = 9/25.
• cos α = √(9/25) = 3/5 (так как 0 < α < π/2, cos α положителен).

Теперь найдем sin 2α и cos 2α:

• sin 2α = 2 sin α cos α = 2 * (4/5) * (3/5) = 24/25.
• cos 2α = cos² α - sin² α = (3/5)² - (4/5)² = 9/25 - 16/25 = -7/25.

4. Решение уравнений:

1. sin (x + π/2) = √3/2:
• Используем свойство: sin (x + π/2) = cos x, тогда cos x = √3/2.
• x = π/6 + 2kπ или x = 11π/6 + 2kπ, где k - любое целое число.
2. sin x + cos x = 0:
• sin x = -cos x, делим обе стороны на cos x (при условии, что cos x не равен 0): tan x = -1.
• x = 3π/4 + kπ, где k - любое целое число.
3. sin² x + 4 sin x - 5 = 0:
• Обозначим sin x = t, уравнение примет вид: t² + 4t - 5 = 0.
• Решаем квадратное уравнение: t = (-4 ± √(16 + 20))/2 = (-4 ± √36)/2 = (-4 ± 6)/2.
• t1 = 1, t2 = -5. Поскольку sin x не может быть меньше -1, оставляем t = 1.
• x = arcsin(1) = π/2 + 2kπ, где k - любое целое число.

5. Построение графика функции y = 1 - 4 sin² x cos² x:

Для построения графика функции можно использовать известное тождество:

• 4 sin² x cos² x = sin² 2x, тогда y = 1 - sin² 2x.
• График функции y = 1 - sin² 2x будет колебаться между 0 и 1.

Теперь определим количество нулей функции на промежутке [-π; π]:

• Функция y = 1 - sin² 2x = 0, когда sin² 2x = 1, т.е. sin 2x = ±1.
• sin 2x = 1 при 2x = π/2 + 2kπ, следовательно, x = π/4 + kπ.
• sin 2x = -1 при 2x = 3π/2 + 2kπ, следовательно, x = 3π/4 + kπ.

На промежутке [-π; π] у нас будет 2 нуля: x = -π/4 и x = π/4.