Для того чтобы исследовать функцию y = x^2 + 2 на экстремум, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте рассмотрим их по порядку.

Первым делом, мы находим первую производную функции y по переменной x. Это позволит нам определить, где функция имеет максимумы или минимумы.

Функция y = x^2 + 2 имеет производную:

y' = 2x

Критические точки находятся там, где первая производная равна нулю или не существует. Мы приравниваем производную к нулю:

2x = 0

Решая это уравнение, мы получаем:

• x = 0

Таким образом, у нас есть одна критическая точка: x = 0.

Теперь нам нужно определить, меняет ли производная знак в окрестности критической точки. Для этого мы можем взять значения производной слева и справа от x = 0.

• Для x < 0, например, x = -1: y'(-1) = 2 * (-1) = -2 (производная отрицательная)
• Для x > 0, например, x = 1: y'(1) = 2 * 1 = 2 (производная положительная)

Это показывает, что производная меняет знак с отрицательного на положительный в точке x = 0.

Так как производная меняет знак с отрицательного на положительный, это говорит о том, что в точке x = 0 находится минимум функции.

Теперь мы можем найти значение функции в точке x = 0:

y(0) = 0^2 + 2 = 2

Таким образом, функция y = x^2 + 2 имеет минимум в точке (0, 2).