Чтобы найти комплексные корни квадратных уравнений, мы будем использовать общую формулу для решения квадратного уравнения вида ax^2 + bx + c = 0, где a, b и c - коэффициенты. Формула выглядит следующим образом:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

Если дискриминант (D = b² - 4ac) меньше нуля, то у уравнения будут комплексные корни.

Теперь давайте разберем каждый пример по очереди.

a) Уравнение: x^2 + 9 = 0

1. Запишем уравнение в стандартной форме: a = 1, b = 0, c = 9.
2. Вычислим дискриминант: D = b² - 4ac = 0² - 4 * 1 * 9 = -36.
3. Так как дискриминант отрицательный (D < 0), у уравнения есть комплексные корни.
4. Теперь подставим значения в формулу: x = (-0 ± √(-36)) / (2 * 1).
5. Корень из отрицательного числа можно выразить через мнимую единицу i: √(-36) = 6i.
6. Таким образом, корни будут: x = (0 ± 6i) / 2 = ± 3i.

Итак, корни уравнения x^2 + 9 = 0 равны x₁ = 3i и x₂ = -3i.

б) Уравнение: 2x^2 + 4x + 3 = 0

1. Запишем уравнение в стандартной форме: a = 2, b = 4, c = 3.
2. Вычислим дискриминант: D = b² - 4ac = 4² - 4 * 2 * 3 = 16 - 24 = -8.
3. Дискриминант также отрицательный (D < 0), значит, у этого уравнения тоже есть комплексные корни.
4. Подставим значения в формулу: x = (-4 ± √(-8)) / (2 * 2).
5. Корень из -8 можно выразить так: √(-8) = √(8) * i = 2√2 * i.
6. Теперь подставим это в формулу: x = (-4 ± 2√2 * i) / 4.
7. Разделим каждое слагаемое: x = -1 ± (√2 / 2) * i.

Таким образом, корни уравнения 2x^2 + 4x + 3 = 0 равны x₁ = -1 + (√2 / 2)i и x₂ = -1 - (√2 / 2)i.

Теперь мы нашли комплексные корни обоих уравнений!