Как решить иррациональные неравенства, например:

1. √2x² - 6x > -3
2. √(x² + 3x - 6) > 2
3. √(5x - 11) ≤ 3

Математика 10 класс Неравенства с иррациональными выражениями иррациональные неравенства решение неравенств математика квадратные корни алгебраические неравенства примеры неравенств Новый

Решение иррациональных неравенств требует особого подхода, так как необходимо учитывать условия, при которых выражения под корнем неотрицательны. Давайте разберем каждый из предложенных примеров по шагам.

1. Неравенство: √(2x² - 6x) > -3

Шаг 1: Поскольку квадратный корень всегда неотрицателен, то неравенство √(2x² - 6x) > -3 выполняется для всех x, для которых выражение под корнем неотрицательно.

Шаг 2: Решим неравенство под корнем:

1. 2x² - 6x ≥ 0
2. Выносим общий множитель: 2x(x - 3) ≥ 0
3. Находим нули: x = 0 и x = 3.

Шаг 3: Определим знаки на интервалах (-∞, 0), (0, 3) и (3, +∞):

• (-∞, 0): положительный;
• (0, 3): отрицательный;
• (3, +∞): положительный.

Шаг 4: Таким образом, неравенство выполняется при x ≤ 0 и x ≥ 3.

2. Неравенство: √(x² + 3x - 6) > 2

Шаг 1: Сначала возведем обе части неравенства в квадрат:

x² + 3x - 6 > 4

Шаг 2: Переносим 4 влево:

x² + 3x - 10 > 0

Шаг 3: Решим квадратное неравенство:

1. Находим корни: D = 3² - 4*1*(-10) = 49, корни: x1 = 2, x2 = -5.
2. Определяем знаки на интервалах (-∞, -5), (-5, 2) и (2, +∞):

• (-∞, -5): положительный;
• (-5, 2): отрицательный;
• (2, +∞): положительный.

Шаг 4: Неравенство выполняется для x < -5 и x > 2.

Шаг 5: Проверим условия под корнем: x² + 3x - 6 ≥ 0. Это условие также выполняется на тех же интервалах.

3. Неравенство: √(5x - 11) ≤ 3

Шаг 1: Сначала возведем обе части неравенства в квадрат:

5x - 11 ≤ 9

Шаг 2: Переносим 9 влево:

5x ≤ 20

Шаг 3: Делим обе стороны на 5:

x ≤ 4.

Шаг 4: Теперь проверим, когда выражение под корнем неотрицательно:

5x - 11 ≥ 0 → x ≥ 11/5.

Шаг 5: Объединяем условия:

11/5 ≤ x ≤ 4.

Таким образом, итоговые решения для каждого неравенства:

• 1. x ≤ 0 или x ≥ 3;
• 2. x < -5 или x > 2;
• 3. 11/5 ≤ x ≤ 4.